高考数学总复习第八章计数原理、概率与统计第47讲二项式定理及应用练习理新人教版

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1、第47讲　二项式定理及应用夯实基础　【p101】【学习目标】1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.的展开式中的常数项为(　　)A．－24B．－6C．6D．24【解析】二项展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r24－rCx4－2r，令4－2r＝0，得r＝2.所以展开式的常数项为4C＝24.【答案】D2．二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)A．4B．5C．6D

2、．7【解析】二项式的展开式的通项是Tr＋1＝Cxr，令r＝2，得x2的的系数为C，所以C＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝－5(舍去)或n＝6.【答案】C3．(2－x)(1＋2x)5展开式中，含x2项的系数为(　　)A．30B．70C．90D．－150【解析】∵(1＋2x)5展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(2x)r，∴(2－x)(1＋2x)5展开式中，含x2项的系数为2×C·22－C·2＝70.【答案】B4．设(2x－1)5＋(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则

3、a0

4、＋

5、

6、a2

7、＋

8、a4

9、＝________．【解析】由(2x－1)5＋(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5可得常数项a0＝(－1)5＋24＝15，x2项的系数为a2＝C×22×(－1)3＋C×22＝－16，x4项的系数为a4＝C×24×(－1)1＋C×20＝－79，则

10、a0

11、＋

12、a2

13、＋

14、a4

15、＝15＋16＋79＝110.【答案】1105．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于________．【解析】逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝

16、(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.【答案】63【知识要点】1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的__展开式__；其中的系数__C(r∈{0，1，…，n})__叫__二项式__系数，与展开式中项的系数__不一定__相同．2．(a＋b)n展开式中的Can－rbr叫二项展开式的__通项__，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Can－rb

17、r.3．二项展开式的特点(1)项数为__n＋1__项．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__．(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端__等距离__的两个二项式系数相等，即__C＝C__.增减性当__k<，k∈N*__时，二项式系数C逐渐增大；当__k>，k∈N*__时，二项式系数C逐渐减小.最大值当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时

18、，中间两项Cn，Cn取得最大值.各二项式系数和C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝__2n__；C＋C＋C＋…＋C＝__2n－1__(n为偶数)；C＋C＋C＋…＋C＝__2n－1__(n为奇数).典例剖析　【p101】考点1　二项展开式中的特定项问题(1)二项式的展开式的常数项为(　　)A．－5B．5C．－10D．10【解析】由题得二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(x6)5－r·＝(－1)rCx30－r，令30－r＝0，∴r＝4.所以二项式展开式的常数项为(－1)4Cx0＝5.【答案】B(2)若的展开式中含有x2项，则n

19、的最小值是(　　)A．15B．8C．7D．3【解析】二项式的展开式的通项是Tr＋1＝C··(－x)r＝C·(－1)r·xr－n.令r－n＝2，即r＝有正整数解．又2与5互质，因此n＋2必是5的倍数，即n＋2＝5k，n＝5k－2，n的最小值是3.【答案】D(3)(1＋)6的展开式中有理项系数之和为________．【解析】(1＋)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x，令为整数，可得r＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝25＝32.【答案】32【点评】求二项展开式中的项的3种方法求二项展开式

20、的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法