数列求和(课件)

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1、中央电视台的《开心辞典》栏目，有一次的最后一题是：“给出一组数1，3，6，10，15…，则第7个数是什么？”你认为第7个数是.那么，这组数之间的规律是.28an=n(n+1)2a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4an-an-1=n…an=1+2+3+…+n叠加求和高考一轮复习---数列求和唐河实验高中知识要点归纳:重点:难点:等差、等比数列求和公式非等差、等比数列的求和学习目标:等差、等比数列的前n项和公式和其它几种常见方法:倒序相加法、错位相减法、〝an〞法(列项法、拆项法).要深刻理解这些求和方

2、法和含义,熟练掌握它们适用的数列类型以及在求和中应注意的问题.求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：1直接法2公式法3倒序相加法4错位相减法5分组转化法6裂项相消法“an”法2：等比数列前n项和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+dn(n-1)2a1(1-qn)1-q复习：1：等差数列前n项和公式：Sn=a1-anq1-q=(q≠1)(q=1)na13:12+22+32+…+n2=1+3+5+…+(2n-1)=2+4+6+…+2n=n(n+1)(2n+1)6n2n2+n1．倒序相加法如果一个数列{an

3、}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．倒序相加法：例1：求数列{nc100n}的前99项的和.S99=c1001+2c1002+…+98c10098+99c10099S99=99c10099+98c10098+…+2c1002+c10012S99=100c1001+100c1002+…+100c10099=100(c1001+c1002+c1003+…+c10099)=100(2100-2)∴S99=50(210

4、0-2)1.求证:Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn=(n+1)2n.012n设Sn=(2n+1)Cn+(2n-1)Cn+…+3Cn+Cn,nn-110∴2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+…+Cn)=2(n+1)2n.01n∴Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn=(n+1)2n.012n练习2错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.错位相减求数列{}的前n项和.2n-12n例2Sn=++++123225232n-12nSn

5、=121223235242n-12n+1++++(1)(2)Sn=1212212312n-1++(1)-(2)得：1212+++2n-12n+1-（）=32-2n+32n+1Sn=3-2n+32n解：练习:求数列{(2n+1)·2n-1}的前n项和.训练即时Sn=3•20+5•21+7•22+9•23+…+(2n+1)•2n-12Sn=3•21+5•22+7•23+9•24+…+(2n+1)•2n(1)(2)(1)-(2)得：-Sn=3+22+23+24+…+2n-(2n+1)•2n()=3+22(2

6、n-1-1)-(2n+1)•2n=-1+(1-2n)•2nSn=1+(2n-1)•2n3裂项求和将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能相互抵消,剩下首尾若干项.常见的列项有1.=4.5.nn!=(n+1)!-n!236.7.求和：+++…+11·21n·(n+1)13·412·3例3：1n·(n+1)an=解：=-1n1n+1Sn=+++…+11·21n·(n+1)13·412·3+(-)1n1n+1=(1-)+(-)+(-)+…12121313141n+1=1-=nn+1“an”法训练即时1求

7、：1、1+2、1+2+22、1+2+22+23…的前n项和.an=1+2+22+…+2n-1=1-21-2n=2n-1Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+…+(1+2+22+…+2n-1)=(2-1)+(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-22求和：+++…+12·411·313·51n·(n+2)3求和:1+++…+11+211+2+311+2+..+n2nn+121(1+--)211n+21n+14分组转

8、化法将一个数列拆成若干个简单数列,然后分别求和.例求和Sn=1×2+2×3+…+n(n+1).n(n+1)(n+2)3an=n(n+1)=n2+nsn=(12+1)+(22+1)+(32+1)…+(n2+1)=(12+22+32+…+n2)+(1+2+3…+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=5、并项求和将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).例求和Sn=1-2+3-4+5-