2020版高考数学总复习第六篇不等式（必修）第3节基本不等式应用能力提升理

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1、第3节　基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式求最值、证明1,2,4,5,6,7,10基本不等式的实际应用12,13基本不等式的综合应用3,8,9,11,14,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018·金华模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m2-2m>0恒成立,则实数m的取值范围是(　B　)(A)[-4,2)(B)(-4,2)(C)(-3,3)(D)[-3,3]解析:由x>0,y>0,x+2y=xy变形得,+=1,所以x+2y=(x+2y)(+)=++4≥4+4=8,当且仅当=,即x=2

2、y时等号成立,又+=1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m2-2m>0恒成立,得(x+2y)min>m2+2m,从而8>m2+2m,解得-4

3、正实数a的最小值为(　B　)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2=(+1)2(x,y,a>0),当且仅当y=x时取等号,所以(x+y)·(+)的最小值为(+1)2,于是(+1)2≥9恒成立.所以a≥4,故选B.4.“a>b>0”是“ab<”的(　A　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由a>b>0得,a2+b2>2ab,即ab<;但由a2+b2>2ab不能得到a>b>0,故“a>b>0”是“ab<”的充分不必要条件,故选A.5.点(m,n)

4、在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动,则log2m+log2n的最大值是　　　　. 解析:由条件知,m>0,n>0,m+n=1,所以mn≤=,当且仅当m=n=时上式取等号,所以log2m+log2n=log2mn≤log2=-2.答案:-26.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y),则实数λ的最小值为　　　　. 解析:依题意得x+2≤x+(x+2y)=2(x+y),即≤2(当且仅当x=2y时取等号),即的最大值为2.又λ≥,因此有λ≥2,即λ的最小值为2.答案:27.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为

5、　　　　. 解析:(x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.答案:98.函数y=(x>-1)的值域为　　　　. 解析:因为x>-1,所以x+1>0,令m=x+1,则m>0,且y==m++5≥2+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=9.又当m→+∞或m→0时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞).答案:[9,+∞)能力提升(建议用时:25分钟)9.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为(　A　)(A)[,+∞)(B)(,+∞)(C)(-∞,)(D)(-∞,]解析

6、:由x>0,得=,令t=x+,则t≥2=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥.故选A.10.(2018·杭州二中月考)若正数a,b满足+=1,则+的最小值为(　B　)(A)1(B)6(C)9(D)16解析:因为正数a,b满足+=1,所以b=>0,解得a>1,同理b>1,所以+=+=+9(a-1)≥2=6,当且仅当=9(a-1),即a=时等号成立,所以+的最小值为6.故选B.11.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A

7、,B,C三点共线,则+的最小值为(　C　)(A)4(B)6(C)8(D)9解析:=(a-1,1),=(-b-1,2),因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,化为2a+b=1.又a>0,b>0,则+=(2a+b)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时取等号.故选C.12.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　. 解析:一年的总运费为6×=(万元).一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的

8、和为(+4x)万元.因为+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时取得等号,所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:3013.设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则+的最小值为　　　. 解析:根据题意