2018年八年级数学下册6.3特殊的平行四边形正方形菱形创新题例析素材（新版）青岛版

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1、正方形菱形创新题例析一、操作题例1．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1－1所示的几何图形．图1-1图1-2（1）请你利用这个几何图形求的值为__________．（2）请你利用图2－2，再设计一个能求的值的几何图形．解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形等分，得到，第二次把面积为的一个矩形等分得到，第三次把面积为的一个正方形等分得到，第四次把面积为的一个等腰直角三角形等分得到，…，最后把面积为的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个，从而易知=，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所

2、得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图2给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下：（1）．（2）如图2－1或如图2－2或如图2－3或如图2－4等，图形正确．图2－1图2－2图2－3图2－4二、拼图题ba例2．如图3，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式：．分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，图3可列出，或，或．三、探究题例3．如图4甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB

3、∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．图4（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．解：（1）如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，所以3∠1=360°，即∠1=120°．所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°（2）由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底．连接MN，则∠FMN=∠FNM=30°．从而∠HMN=30°，∠HNM=90

4、°．所以NH=．因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．图5（3）能拼出菱形．如图5：(拼法不唯一)．评析：本题是考察学生观察能力和综合分析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系．只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的3倍等于180°或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很容易得到解决了．四、猜想题例4．如图6－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三

5、角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图6－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图6－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图6－2EABDGFOMNC图6－3ABDGEFOMNC图6－1A(G)B(E)COD(F)分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，

6、以学生非常熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．解：（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN．（2）BM=FN仍然成立．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转

7、角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题．五、方案设计题例5．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：仿上用图7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．（2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图7（2）②①①②图7（1）分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，略举几例：（1）方案1．　　　　　　　　　　方案2．中点中

8、点①①中点中点①①（2）方案1．　　　　　　　　　　　方案2．中点中点①①②②中点中点①①②②