高考数学兵法10招（2）就地取材，无中生有

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1、数学高考10招（2）就地取材无中生有●计名释义这一招是专门对付开放题的.开放题有两种类型：一是开放条件；二是开放结论.条件开放的试题，结论明确，解题方向清楚，但条件不足，也就是条件不充分，属于“必要不充分”的题型，我们的任务是补充能使结论成立的充分条件.反之，结论开放的试题，条件充分，但结论不明确.我们的任务则是补充必要条件.●典例示计【例1）以下是武汉市某次高中调考中的一道数列题：等差数列的前n项和为Sn，若（a1+a3）2=9，an＜0（），则S10等于（）这道题从正面解，你会发现无论走哪条路，都“差条件”，陷

2、入欲进不得，欲罢不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把选项作条件来用呢？【解析）由于时恒有an＜0，必S10＜0，排除A，C；设若S10=-13，即有10a1+×10×9d=-13，那么a1+d=.（1）但由（a1+a3）2=9，an＜0可得a1+a3=-3，也就是a1+d=（2）（1）-（2）：d=，于是d＞0，这与时恒有an＜0矛盾，故排除D，选B.本解使用的，正是“就地取材”的计策.如果你感到题干中的“条件不够”，陷入“山穷水复疑无路”的困境，不妨在选项中就地发现“柳暗花明又一村”.那么，什么又是“无中生有”呢

3、？请看【例2）06年湖南卷的文科10题：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则实数对（x，y）可以是（）【解析）如图，设向量OP符合要求.过P作PA1∥AB，交OA于A1，OB于B1，令，显然0＜k＜1.再令，∵点P在A1B1的延长线上，必λ＞1.于是.于是.由（1）知x＜0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k∈（0，1），排除B，D，∴选C.为了解题的需要，我们不仅添加了辅助线，还引入了k，λ这些参变量，这都是“无中生有”；又为了免除繁

4、杂的计算，我们又在选项中“就地取材”.再请看【例3）06年湖南卷的理科15题：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则x的取值范围是当时，y的取值范围是【解析）同上题解法，得：由于k∈（0，1）且λ＞1，∴x＜0.即当时，∵x+y=k，∴y=k-x=k+∈（）.【评注）咋一看湖南这两道题，的确有“树高荫深，叫樵夫难以下手”之感。因为仅凭现有图形，是无论如何也难以找到正确答案的。唯一可行之路，就是“无中生有”了，于是笔者按要求随意画一条向量（即解

5、图中的OP）试试看，又想到关于向量的问题多能用平移解决，在作出平行线PA1后，已是豁然开朗，成竹在胸了.这难道不是“无中生有”的神奇麽？例4题图【例4）如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足条件时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考）显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥MN,只

6、需过HN作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,将线面平行的问题转化为面面平行的问题.【解析）连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P.则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面BB1D1D.MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1【例5）知F(x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R,f(2－x)=f(2+x)总成立，问f(1－2x2)与f(1+2x－x2)满足什么条件时，才能使－2

7、件很容易得到f(x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.【解答）由题设知：函数f(x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.故函数f(x)在上是增函数；在上是减函数.∵1－2x2≤1<2,1+2x－x2=－(x－1)2+2≤2,∴1－2x2∈,1+2x－x2∈.当f(1－2x2)0,解得x<－2或x>0,不能使－2f(1+2x－x2)时，1－2x2>1+2x－x2,即x2

8、+2x<0,解得－2f(1+2x－x2)时，才能使－2