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时间:2018-10-27
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1、新编高考数学解题技巧&孙子兵法第1计芝麻开门点到成功●计名释义七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”,讲的是“以小见大”.就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中,以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点”的重要性.因此,以点破题,点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范[例题]将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到一个如下图所示的分数三角形,称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出,其中.令,则.[分析]一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物.从何
2、处破门呢?我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点的主意.[解Ⅰ]将等式与右边的顶点三角形对应(图右),自然有第181页共181页对此,心算可以得到:n=1,r=0,x=1对一般情况讲,就是x=r+1这就是本题第1空的答案.[插语]本题是填空题,只要结果,不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析,而是以点带面,点到成功.要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数,都等于对应的“脚下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,都能解出x=r+1.第2道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项.[解Ⅱ]在三角形中先找到了数
3、列首项,并将和数列中的各项依次“以点连线”(图右实线),实线所串各数之和就是an.这个an,就等于首项左上角的那个.因为在向下一分为二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是0.因此得到这就是本题第2空的答案.[点评]解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数,采用的方法是以点串线——三角形中的实线,实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质.例如从这个数开始,向左下连线(无穷射线),所连各数之和(的极限)就是这个数的左上角的那个数.用等式表示就是第181页共181页[链接]本题型为填空题,若改编成解答题,
4、那就不是只有4分的小题,而是一个10分以上的大题.有关解答附录如下.[法1]由知,可用合项的办法,将的和式逐步合项.[法2]第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,结合给出的数表可逐次向上求和为,故,从而[法3](2)将代入条件式,并变形得取令得,第181页共181页………以上诸式两边分别相加,得[说明]以上三法,都是对解答题而言.如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门,点到成功”在使用对象上的真正意义.●对应训练1.如图把椭圆的长轴AB分成8份,过每
5、个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则
6、P1F
7、+
8、P2F
9、+……+
10、P7F
11、=_______.2.如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,P,Q分别是侧棱AA1,CC1上的点,且A1P=CQ,则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为.●参考解答1.找“点”——椭圆的另一个焦点F2.连接P1F2、P2F2、…、P7F2,由椭圆的定义FP5+P5F2=2a=10如此类推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×10=70由椭圆的对称性可知,本题的答案是70的一半即35.2.找“点”——动点P、Q的极
12、限点.如图所示,令A1P=CQ=0.即动点P与A1重合,动点Q与C重合.则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B,四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1.显然V棱柱.第181页共181页∴∶=于是奇兵天降——答案为.[点评]“点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局.这些特殊点,在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字,既是名词,又是动词,是“点亮”和“亮点”的合一.第2计西瓜开门滚到成功●计名释义比起“芝麻”来,“西瓜”则不是一个“点”,而一个球.因为它能够“滚”,所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面,在滚动中能选出有效的“触面”.
13、数学命题是二维的.一是知识内容,二是思想方法.基本的数学思想并不多,只有五种:①函数方程思想,②数形结合思想,③划分讨论思想,④等价交换思想,⑤特殊一般思想.数学破题,不妨将这五种思想“滚动”一遍,总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范[题1]对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f¢(x)³0,则必有A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+
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