高考数学解题技巧.pdf

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1、习题精选精讲透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。α+β（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2、－2α−β等。2（3）降次，即二倍角公式降次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。22b（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a+bsin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ=确a定。三、与三角函数有关的五大热点问题1．三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。π例1.(06重庆卷)设函数f(x)=3cos2cos+sinωrcosωx+a(其中ω

3、＞0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.6（Ⅰ）求ω的值；⎡π5π⎤（Ⅱ）如果f(x)在区间−,上的最小值为3，求a的值.⎢⎥⎣36⎦313解：（I）f(x)=cos2ωx+sin2ωx++α222⎛π⎞3=sin⎜2ωx+⎟++α⎝3⎠2πππ依题意得2ω⋅+=,6321解之得ω=.2π3（II)由（I）知,f(x)=sin(x+)++α32⎡π5π⎤π⎡7π⎤又当x∈−,时，x+∈0,,⎢⎣36⎥⎦3⎢⎣6⎥⎦1π故−≤sin(x+)≤1,23⎡π5π⎤13从而f(x)在−,上取得最小值−++α⎢⎣36⎥⎦2

4、2133+1因此，由题设知−++α=3.故α=2222π例2.（06山东卷）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为22，并过点（1，2）.（1）求ϕ;1习题精选精讲（2）计算f(1)+f(2)+…+f(2008).2AA解：（I）y=Asin(ωx+ϕ)=−cos(2ωx+2).ϕ22AAQy=fx()的最大值为2，A>0.∴+=2,A=2.2212ππ又Q其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，∴()=2,ω=.22ω422ππ∴fx()=−cos(

5、x+2)1cos(ϕ=−x+2)ϕ.2222πQy=fx()过(1,2)点，∴cos(+2)ϕ=−1.2πππ∴+2ϕ=2kπ+π,k∈Z,∴2ϕ=2kπ+,k∈Z,∴=ϕkπ+,k∈Z,224ππ又Q0<ϕ<,∴=ϕ.24ππππ（II）解法一：Qϕ=，∴=−y1cos(x+)1sin=+x.4222∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=+++=21014.又Qy=fx()的周期为4，2008=×4502，∴f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(2008)=×4502=2008.2π2π23π解法二：Qfx()=2sin(x+ϕ)∴f(1

6、)+f(3)=2sin(+ϕ)2sin(++ϕ)=2,4442π2f(2)+f(4)=2sin(+ϕ)2sin(+π+ϕ)=2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.2又y=fx()的周期为4，2008=×4502，∴f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(2008)=×4502=2008.例3.（06福建卷）已知函数f(x)=sin2x+3xcosx+2cos2x,x∈R.（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的基本公式、三

7、角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。1cos2−x3解：（I）fx()=+sin2x+(1cos2)+x22313=sin2x+cos2x+222π3=sin(2x+)+.622π∴fx()的最小正周期T==π.22习题精选精讲πππππ由题意得2kπ−≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即kπ−≤x≤kπ+,k∈Z.26236⎡ππ⎤∴fx()的单调增区间为⎢kπ−,kπ+⎥,k∈Z.⎣36⎦ππ（II）方法一：先把y=sin2x图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图象，再把所得图象

8、上所有1263π3的点向上平移个单位长度，就得到y=sin(2x+)+的图象。262rπ3π3方法二：把y=sin2x图象上所有的点按向量a=−(,)平移，就得到y=sin(2x+)+的图象。