2019版一轮优化探究理数练习：第二章 第一节　函数及其表示 含解析

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1、一，填空题1．已知f(x)＝则f()＋f(－)的值等于________．解析：f()＝；f(－)＝f(－)＋1＝f()＋2＝，f()＋f(－)＝3.答案：32．已知f()＝，则f(x)的解析式可取为________．解析：(换元法)令t＝，由此得x＝，所以f(t)＝＝，从而f(x)的解析式可取为.答案：3．设f(x)＝则f[f()]＝________.解析：f[f()]＝f(－)＝.答案：4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于________．解析：令x＝－3，y＝1，则f(－2)＝f(1)＋f(－3)－6.

2、又∵f(1)＝2，∴f(－3)＝f(－2)＋4.令x＝－2，y＝1，则f(－1)＝f(1)＋f(－2)－4，∴f(－2)＝f(－1)＋2.令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1)＋f(1)－2.又x＝y＝0时，f(0)＝0，∴f(－1)＝0，∴f(－3)＝f(－2)＋4＝f(－1)＋6＝6.答案：65．已知函数f(x)＝ax＋－4(a，b为常数)，f(lg2)＝0，则f(lg)＝________.解析：由题意得f(lg2)＝alg2＋－4＝0，有alg2＋＝4，则f(lg)＝alg＋－4＝－alg2－－4＝－8.答案：－86．定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(

3、n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2014)＝________.解析：令m＝n＝0，得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1，得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2，由于f(1)≠0，所以f(1)＝；令m＝x，n＝1，得f(x＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×()2，即f(x＋1)＝f(x)＋，这说明数列{f(x)}(x∈Z)是首项为，公差为的等差数列，所以f(2014)＝＋(2014－1)×＝1007.答案：10077．已知f(＋1)＝lgx，则f(x)＝________.解析：令＋1＝t(t>

4、1)，则x＝，∴f(t)＝lg(t>1)，f(x)＝lg(x>1)．答案：lg(x>1)8．函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________．答案：f(x)＝9．已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b＝________.解析：由题意可知＝0，a＝1，解得a＝1，b＝0，所以a＋b＝1.答案：1二，解答题10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．解析：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，∴f[g

5、(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，g(x)＝2－x，故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3，∴f[g(x)]＝当x>1或x<－1时，f(x)>0，故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；当－1

6、出大致的图象．解析：当0≤x≤2时，△OEF的高EF＝x，∴S＝x·x＝x2；当23时，S＝.∴S＝f(x)＝.函数图象如图所示．12．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)若有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解析：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝

7、3，从而f(1)＝1.又f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，