2019版一轮优化探究理数练习：第九章 第十节　直线与圆锥曲线的位置关系 含解析

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1、一，填空题1．直线x＝1与椭圆x2＋＝1的位置关系是________．解析：∵椭圆x2＋＝1的短半轴b＝1，故直线x＝1与椭圆相切．答案：相切2．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k＝________.解析：由，消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)>0，解得k>－1，且x1＋x2＝＝4，解得k＝－1或k＝2，故k＝2.答案：23．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围为___

2、_____．解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，结合斜率的变化情况可知k∈(－，)．答案：(－，)4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和为10，则第三边的长度是________．解析：∵△AF1B的周长为4a，且a＝4，∴第三边的长度为4×4－10＝6.答案：65．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

3、AB

4、的最大值为________．解析：设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2

5、)两点，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则有x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴

6、AB

7、＝

8、x1－x2

9、＝·＝，当t＝0时，

10、AB

11、max＝.答案：6．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于________．解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，k2＝，k1＝，k1k2＝.由相减得y－y＝－(x－x)．故k1k2＝－.答案：－7．过抛物线y2＝4x的焦点

12、F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是________．解析：由y2＝4x，得p＝2，F(1,0)，∴A(1,2)，B(1，－2)，∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝48．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：该椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则该直线方程是x＝y＋1，代入椭圆方程得3y2＋2y－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

13、y1＋y2＝－，y1·y2＝－，则△OAB的面积为S＝

14、OF

15、

16、y1－y2

17、＝＝＝＝.答案：9．若斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意易知两交点的横坐标为－c，c，纵坐标分别为－，，所以由＝⇒2b2＝ac＝2(a2－c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝(负根舍去)．答案：二，解答题10．已知椭圆C1：＋＝1的左，右两个焦点为F1，F2，离心率为，又抛物线C2：y2＝4mx(m>0

18、)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0)．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P，Q且满足＝λ.求实数λ的取值范围．解析：(1)椭圆中c＝1，e＝，所以a＝2，b＝＝，椭圆方程为＋＝1.抛物线中m＝＝1，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)，和抛物线方程联立得消去y整理得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，因为直线和抛物线有两个交点，所以解得－1

19、2＝1.又＝λ，所以又y2＝4x，由此得4x1＝λ24x2，即x1＝λ2x2，由x1x2＝1解得x2＝，x1＝λ，又x1＋x2＝＝－2，所以λ＋＝－2.又因为02.解得λ>0且λ≠1.11．设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．解析：(1)设抛物线顶点为P(x，y)，由抛物线的性质可得其焦

20、点F(2x－1，y)，再根据抛物线的定义得

21、AF

22、＝2，即(2x)2＋y2＝4，所以轨迹C的方程为x2＋＝1.(2)设弦MN的中点为P(－，y0)，则由点M，N为椭圆上的点，可知：两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，将xM＋xN＝2×(－)＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－代入上式得k＝－.又点P(－，y0)在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－k＋m.所以m＝y0＋k＝y0.由点P(－，y0)在线段BB′上(B′，B为直线x＝－与椭圆的交点，