2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：不 等 式第　不等式的综合应用（含答案）

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1、第六章　不等式第第4课时　不等式的综合应用1.[2013·徐州期中]设a、b∈R，a2＋2b2＝6，则的最大值是________．答案：1解析：过[3，0]点的直线与椭圆＋＝1相切时斜率最大，可求得切线的斜率为1即为所求．2.[2013·无锡期中]定义在R上的函数y＝f[x]是增函数，且函数y＝f[x－2]的图象关于[2，0]成中心对称，设s、t满足不等式f[s2－4s]≥－f[4t－t2]，若－2≤s≤2时，则3t＋s的范围是________．答案：[－8，16]解析：因为函数y＝f[x－2]的图象关于[2，0]成中心对

2、称，所以函数y＝f[x]的图象关于[0，0]成中心对称，即函数y＝f[x]为奇函数．又函数y＝f[x]是增函数，所以不等式化为s2－4s≥－4t＋t2，[s－t][s＋t－4]≥0，在横轴为s轴，纵轴为t轴的直角坐标系中作出可行域，可求得直线z＝3t＋s分别过点[－2，－2]、[－2，6]时取得最小值－8和最大值16.3.[2013·南京模拟]已知关于x的不等式[2ax－1]lnx≥0对任意x∈[0，＋∞]恒成立，则实数a的值为________．答案：解析：当x>1时，lnx>0，所以2ax－1≥0，即2a≥，所以a≥；当

3、00，对于任意a、b、c∈[M，＋∞]，若a、b、c是直角三角形的三条边长，且f[a]、f[b]、f[c]也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为________．答案：解析：设斜边为c，则a2＋b2＝c2，lna＋lnb>lnc，即ab>c，所以a2b2>c2＝a2＋b2，即1>＋.又＋<＋＝，故1≥，即M≥.5.[2013·盐城模拟]若实数a、b、c、

4、d满足＝＝1，则[a－c]2＋[b－d]2的最小值为________．答案：[1－ln2]2解析：由题意得，[a，b]、[c，d]分别为函数y＝x2－2lnx和y＝3x－4图象上任意一点，当函数y＝x2－2lnx图象上点[a，b]处的切线与直线y＝3x－4平行时[a－c]2＋[b－d]2最小，由2x－＝3得x＝2，所以点[2，4－2ln2]到直线y＝3x－4的距离的平方[1－ln2]2即为所求的最小值．6.[2013·台州调研]若实数a、b满足ab－4a－b＋1＝0[a＞1]，则[a＋1][b＋2]的最小值为_______

5、_．答案：27解析：∵ab－4a－b＋1＝0，∴b＝，ab＝4a＋b－1.∴[a＋1][b＋2]＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋·2＋1＝6a＋＋1＝6a＋8＋＋1＝6[a－1]＋＋15.∵a＞1，∴a－1＞0.∴原式＝6[a－1]＋＋15≥2＋15＝27.当且仅当[a－1]2＝1，即a＝2时等号成立．∴最小值为27.7.若对任意x∈R，不等式3x2－2ax≥

6、x

7、－恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：－1≤a≤1解析：当x＝0时，a∈R；当x>0时，2a≤3x＋－1，因为3x＋－1≥2－1＝2

8、，所以a≤1；当x<0时，2a≥3x＋＋1，因为3x＋＋1＝－＋1≤－3＋1＝－2，所以a≥－1.综上所述，－1≤a≤1.8.[2013·南通模拟]设实数x1、x2、x3、x4、x5均不小于1，且x1x2x3x4x5＝729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是________．答案：9解析：设M＝max，则M≥x1x2，M≥x2x3，M≥x3x4，M≥x4x5，相乘得M4≥x1xxxx5＝.因为M≥x1，M≥x5，所以x1x5≤M2，所以M4≥x1xxxx5＝≥，即M6≥7292，亦即M≥9，当x

9、1＝x3＝x5＝9，x2＝x4＝1时，M＝9.9.函数f[x]＝ax2－2[a－3]x＋a－2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a值的和为________．答案：－14解析：由ax2－2[a－3]x＋a－2＝0得a[x－1]2＝2－6x，显然x＝1不成立，所以x≠1，所以a＝.因为a为负整数，所以x>且[x－1]2<6x－2，解得4－

10、时，f[x]≥a恒成立，求a的取值范围；[2]当x∈[－2，2]时，f[x]≥a恒成立，求实数a的取值范围．解：[1]f[x]≥a，即x2＋ax＋3－a≥0对x∈R恒成立，∴a2－4[3－a]≤0，解得－6≤a≤2.[2]当x∈[－2，2]时，f[x]≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，令g[x