高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业25平面向量的概念及其线性运算

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1、课时作业25　平面向量的概念及其线性运算1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　B　)A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．

2、－λa

3、≥

4、a

5、D．

6、－λa

7、≥

8、λ

9、·a解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，

10、－λa

11、＝

12、－λ

13、

14、a

15、，由于

16、－λ

17、的大小不确定，故

18、－λa

19、与

20、a

21、的大小关系不确定；对于D，

22、λ

23、a是向量，而

24、－λa

25、表示长度，两者不能比较大小．2．(2019·合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等

26、于(　C　)A.－B．－＋C．2－D．－＋2解析：因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.3．(2019·济宁模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　B　)A．1B．2C．3D．4解析：∵O为BC的中点，∴＝(＋)＝(m＋n)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.4．(2019·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　C

27、　)A.－B.－C．－＋D．－＋解析：＝＋＝＋＝－＋＝－＋＝－＋＋＋(＋＋)＝－＋.5．(2019·长春模拟)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　B　)A.B.C.D.解析：由＝＋得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC，又S△ACD＝S△ABC，所以S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.故选B.6．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若＝＋λ·，则

28、

29、的取值范围为(　D　)A.B.C.D.解析：在AB上取一点D

30、，使得＝，过D作DH∥AC，交BC于H.∵＝＋λ，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上．当P在D点时，

31、

32、取得最小值2；当P在H点时，

33、

34、取得最大值，此时B，P，C三点共线，∵＝＋λ，∴λ＝，∴＝＋，∴2＝2＋2＋·＝，∴

35、

36、＝.故

37、

38、的取值范围为.故选D.7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝3.解析：由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴＝＝(

39、＋)，即＋＝3，则m＝3.8．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为－.解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k＝－.9．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝

40、2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是.解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴＝2，∵点E在线段CD上，∴＝λ(0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值范围是.10．(2019·太原质检)设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为60°.解析：∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，将其代入sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)＝0.又，不共线，∴sinB－sinA＝0，

41、sinC－sinA＝0.则sinB＝sinA＝sinC.根据正弦定理知，b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.解：由D，O，C三点共线，可设＝k1＝k1(－)＝k1＝－k1a＋k1b(k1为实数)，同理，可设＝k2＝k2(－)＝k2＝－k2a＋k2b(k2为实数)，①又＝＋＝－a＋＝－(1＋k1)a＋k1b，②所以由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，即(1＋k1－2k2)a＋b＝0.又

42、a，b不共线，所以解得所以＝－a＋b.所以＝＋＝a＋＝(a＋b)．12．(2019·广东化州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内，设＝m－n(m，n∈R)，则2m＋n的最大值为(　B