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《2020版高考数学一轮复习课后限时集训42立体几何中的向量方法理北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训(四十二) 立体几何中的向量方法(建议用时：60分钟)A组 基础达标一、选择题1．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为( )A. B．C.D．B [建立空间直角坐标系如图．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE夹角的余弦值为.]2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为等边三角形，侧棱垂直于底面，AB＝
2、4，AA1＝6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，C1F＝CC1，则异面直线A1E与AF夹角的余弦值为( )A.B．C.D．D [以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知A1(4,0,6)，E(2,2，3)，F(0,0,4)，A(4,0,0)，∴＝(－2,2，－3)，＝(－4,0,4)．设异面直线A1E与AF的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.∴异面直线A1E与AF夹角的余弦值为.故选D．]3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝2
3、，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C的夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°A [由已知AB2＋BC2＝AC2，得AB⊥BC.以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，cos〈，n〉＝＝＝，〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C的夹角为30°.故选A.]4.如图，在四棱锥PABCD中，四边
4、形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角BACM的余弦值为( )A.B．C.D．A [因为BC⊥平面PAB，PA平面PAB，所以PA⊥BC，又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，所以PA⊥平面ABCD．以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，M，所以＝(1,2,0)，＝，求得平面AMC的一个法向量为n＝(－2,1,1)，又平面ABC的一
5、个法向量＝(0,0,2)，所以cos〈n，〉＝＝＝＝.所以二面角BACM的余弦值为.]5．在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1DCC1的大小为60°，则AD的长为( )A.B．C．2D．A [如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)．设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)．
6、由得令z＝－1，则m＝(a,1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，解得a＝，所以AD＝.故选A.]二、填空题6.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是________．60° [以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，∴
7、·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.]7．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1夹角的正弦值等于________． [以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1的夹角为θ，则sinθ＝
8、c
9、os〈n，〉
10、＝＝.]8．(2019·汕头模拟)在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是________． [如图所示，建立空间直角坐标系
