2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课——椭圆的综合问题课后训练案巩固提升新人教A版

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1、习题课——椭圆的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.(2016四川绵阳高二月考)已知点M(3,0),直线y=k(x+3)与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则△ABM的周长为(　　)A.4B.8C.12D.16解析:椭圆x24+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=a2-b2=3,所以椭圆的两个焦点为N(-3,0),M(3,0).又因为直线y=k(x+3)必经过定点N(-3,0),由椭圆的定义知△ABM的周长为

2、AB

3、+

4、AM

5、+

6、BM

7、=(

8、AN

9、+

10、AM

11、)+(

12、BN

13、+

14、BM

15、)=2a+2a=4a=8.答案:B

16、2.(2016滨州二中月考)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为(　　)A.1B.2C.2D.22解析:设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),则当三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,∴S=12×2c×b=bc=1≤b2+c22=a22,∴a2≥2,∴a≥2,∴长轴长2a≥22,故选D.答案:D3.若O和F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为(　　)A.2B.3C.6D.8解析:由题意可知O(0,0),F(-1,0),设

17、点P为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以OP·FP=x(x+1)+y2=x2+x+y2=x2+x+3-34x2=14x2+x+3=14(x+2)2+2.因为x∈[-2,2],所以当x=2时,OP·FP取最大值,(OP·FP)max=14×(2+2)2+2=6.答案:C4.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得

18、PQ

19、=

20、PF2

21、,则动点Q的轨迹是(　　)A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析:因为

22、PQ

23、=

24、PF2

25、,且

26、PF1

27、+

28、PF2

29、=2a,所以

30、PQ

31、+

32、PF

33、1

34、=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以

35、PF1

36、+

37、PQ

38、=

39、F1Q

40、,故

41、F1Q

42、=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案:A5.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若

43、PF1

44、=4,则

45、PF2

46、=　　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　　. 解析:∵a2=9,b2=2,∴c=a2-b2=9-2=7,∴

47、F1F2

48、=27.又

49、PF1

50、=4,

51、PF1

52、+

53、PF2

54、=2a=6,∴

55、PF2

56、=2.又由余弦定理得cos∠F1PF2=22+42-(27)22×2×4=-12,∴∠F1PF2=120°.答

57、案:2　120°6.椭圆x2+4y2=16被直线y=12x+1截得的弦长为　　　　　. 解析:由x2+4y2=16,y=12x+1,消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.所以弦长

58、MN

59、=1+k2

60、x1-x2

61、=54[(x1+x2)2-4x1x2]=54×(4+24)=35.答案:357.(2016广西柳州高二月考)焦点分别为(0,52)和(0,-52)的椭圆截直线y=3x-2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12,则此椭圆的方程为　　　　　. 解析:

62、设此椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),且a2-b2=(52)2=50.①由y2a2+x2b2=1,y=3x-2,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.故--12b2a2+9b2=2×12,即a2=3b2,②由①②得a2=75,b2=25,此时Δ>0,所以所求椭圆方程为y275+x225=1.答案:y275+x225=18.已知点A-12,0,B是圆F:x-122+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,求动点P的轨迹方程.解:如图所示,由题意知,

63、PA

64、=

65、PB

66、,

67、PF

68、

69、+

70、BP

71、=2,所以

72、PA

73、+

74、PF

75、=2,且

76、PA

77、+

78、PF

79、>

80、AF

81、,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,因此a=1,c=12,b2=34.故动点P的轨迹方程为x2+y234=1,即x2+43y2=1.9.已知椭圆x2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率为22,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.解:(1)由题意,得ca=22,a2=2b,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=1,故椭圆的方程为x2+y22=1.(2

82、)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程,得x2+y22=1,x-y+m=0,即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0=x1+x22=-m3,y0=x0+m=2m3,即M-m3,2