高考数学第5章数列第3节等比数列及其前n项和教学案（含解析）理

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1、第三节　等比数列及其前n项和[考纲传真]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．

2、等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．

3、1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.()[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)等比

4、数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于()A．27B．36C.D．54C　[公比q＝＝＝，则a6＝a4q2＝18×＝.]3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]4．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝________.4　[由题意知消去a1得＋q＝，解得q＝或q＝2.又0＜q＜1，故q＝，此时a1＝4.]5．在数列{an}中，a1＝2，a

5、n＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]等比数列基本量的运算1．(2019·太原模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝3a3，则S5＝()A．1B．5C.D.D　[由S3＝3a3得a1＋a2＝2a3，∴1＋q＝2q2，解得q＝－或q＝1(舍)．∴S5＝＝×＝，故选D.]2．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝_

6、_______.32　[设{an}的首项为a1，公比为q，则解得所以a8＝×27＝25＝32.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解]　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，

7、m＝6.[规律方法]　解决等比数列有关问题的两种常用思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn方程的思想，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝(1－qn)(q＜1)或Sn＝(qn－1)(q＞1).等比数列的判定与证明【例1】　(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝