高中数学第二章对数函数2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算学案（含解析）新人教版

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1、第2课时　对数的运算学习目标　1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点).知识点1　对数的运算性质若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)loga＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.(　　)(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)(3)loga(－2)3＝3loga(－2)

2、.(　　)提示　(1)√　根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×　根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay；(3)×　公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数.知识点2　换底公式logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).【预习评价】(1)log35·log56·log69＝________.(2)若log34×log48×log8m＝log416，则m＝________.解析　(1)原式＝··＝＝＝2.(2)原方程可化为××＝＝2，即lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.答案　(1)2　(2)9

3、题型一　利用对数的运算性质化简、求值【例1】　计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.解　(1)法一　原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.法二　原式＝lg－lg4＋lg7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.规律方法　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(

4、1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【训练1】　计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2).解　(1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝＝＝.题型二　利用换底公式化简、求值

5、【例2】　(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________；(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.(1)解析　原式＝＝·＝×＝.答案　(2)解　法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝＝＝.法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝.法三　∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18.∴log3645＝＝＝＝＝.规律方法　利用换底公式化简与求值的思路【训练2】　(1)已知log1227＝

6、a，求log616的值；(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.解　(1)由log1227＝a，得＝a，∴lg2＝lg3.∴log616＝＝＝＝.(2)法一　原式＝·＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.法二　原式＝＝＝＝13.法三　原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝(log52＋log52＋log52)＝log25·3log52＝×3＝13.题型三　利用对数式与指数式的互化解题【例3】　(1)设3a

7、＝4b＝36，求＋的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.解　(1)法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，由换底公式得＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，∴＝log63，＝log64＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴＝logk2，＝logk3，＝l

8、ogk5，由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝log