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《高中数学课时提升作业二十三3.3.2函数的极值与导数（含解析）新人教A版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时提升作业二十三 函数的极值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·福州高二检测)函数f(x)=x+的极值情况是 ( )A.当x=1时,极小值为2,但无极大值B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值C.当x=-1时,极小值为-2,当x=1时,极大值为2D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2【解析】选D.令f′(x)=1-=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.2.已知函数f(x
2、)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是 ( )A.-12D.a<-3或a>6【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.3.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( )A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【
3、解析】选B.f′(x)=6x2+2ax+36,因为f(x)在x=2处有极值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).【补偿训练】设a为实数,求函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R的单调区间与极值.【解析】因为f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,解得x=ln2,当xln2时,f′(x)>0,函数单调递增;故函数的减区间为(-∞,ln2),增区间为(ln2,+∞),当x=ln2时函数取极小值,极小值f(ln2)=eln
4、2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.4.(2016·天津高二检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f′(x)=2xln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于 ( )A.2B.3C.6D.9【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b的关系式,再利用基本
5、不等式求最大值.【解析】选D.f′(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则ab≤=9(当且仅当a=b=3时,等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·西安高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值为-,则f(2)= .【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.答案:7.(2016
6、·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= .【解题指南】求出f′,解出方程f′=0的根,再根据不等式f′>0,f′<0的解集得出函数的极值点.【解析】f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2.答案:28.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是 .【解析】f′(x)=x2+2ax+1,因为函数f(x)有两个极值点,所以方程f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实
7、数根,所以Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.答案:a<-1或a>1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·烟台高二检测)设f(x)=,其中a为正实数.(1)当a=时,求f(x)的极值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得f′(x)=ex.(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=.当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如表:xf′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以x=是极小值点,x=是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′
8、(x)在R上不变号,结合f′(x)与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,由此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,又a>0,故0
