高中数学第二章双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案（含解析）新人教A版

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1、第2课时　双曲线几何性质的应用学习目标　1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一　直线与双曲线的位置关系思考　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案　不能．梳理　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±

2、时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二　弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则

3、AB

4、＝＝.1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(　×　)2．直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　√　)类型一　直线与双曲线的位置关系例1　已知双曲线C：－＝1(a>0，b

5、>0)的离心率为，且过点(，1)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的位置关系解　(1)由e＝，可得＝，所以a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1.将点P(，1)代入双曲线C的方程，解得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，消去y，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由题意得，解得－1

6、系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1　已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的位置关系解　当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，

7、k＝±2，直线l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.综上，k＝或k＝±2或k不存在．类型二　弦长公式及中点弦问题例2　双曲线的方程是－y2＝1.(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．考点　直线与双曲线的位置关系题点　弦长及弦中点问题解　(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，∴m2>3.

8、设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝－m，x1x2＝.由弦长公式

9、AB

10、＝

11、x1－x2

12、，得×＝，∴＝，即m＝±5，满足m2>3，∴直线l的方程为y＝x±5.(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点，点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.由x－4y＝4，x－4y＝4，两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，∴＝，∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，满

13、足Δ>0，∴所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.反思与感悟　(1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．跟踪训练2　设双曲线的顶点是椭圆＋＝1的焦点，该双曲线又与直线x－3y＋6＝0交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．(1)求此双曲线的方程；(2)求

14、AB

15、.考点　直线与双曲线的位置关系题点　弦长及弦中点问题解　(1)已知椭圆的焦点为(0，±1)，即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y2－mx2＝1(m>

16、0)，①又直线x－3y＝－6，②A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程①②组成的方程组的两个解．由得x2＋