高中数学第三章不等式3.4基本不等式（第1课时）学案新人教A版

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1、3.4　基本不等式:(第1课时)学习目标1.了解代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等式.2.掌握从不同角度探索基本不等式的方法.3.从基本不等式的证明过程中进一步体会不等式证明的常用思路.合作学习一、设计问题,创设情境第24届国际数学家大会于2002年在北京召开,右面是大会的会标,其中的图案大家见过吗?在此图中有哪些几何图形?你能发现图形中隐含的不等关系吗?若我们设图中直角三角形的直角边分别为x,y,你能用x,y表示四个直角三角形的面积和吗?你能用x,y表示大正方形的面积吗?根据图形,比较四个直角三角形的

2、面积和与大正方形的面积的不等关系,写出不等式.二、信息交流,揭示规律问题1:当四个直角三角形边长可以变化时,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等?相等时,图形产生了怎样的变化?x,y有什么关系?问题2:以上结论我们是在几何图形中的面积关系获得的.同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明?问题3:同学们对结论中的“当且仅当”如何理解?如果我们使用两个正数a,b分别代替x2,y2,那么,以上结论我们可以写成什么形式?问题4:对这个结论,我们能否进行证明?问题5:结论(1)我们是在赵爽弦图中发现的,那么,我

3、们能不能找到结论(2)的几何解释呢?同学们来看这个问题:如图AB是圆O的直径,点C是线段AB(除A、B外)上任意一点,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.试以a,b表示CD,OD的长度并比较两者的大小.问题6:什么时候等号成立?做出怎样的解释呢?问题7:对于一个公式,我们首先要观察结构、进行记忆。同学们观察基本不等式两边,你想到了原来学过的哪些知识?三、运用规律,解决问题【例1】下列各式错误的是(　　)A.(a>0,b>0)B.x+≥2(x>0)C.+sinx≥4(0

4、y都是正数,求证≥2.四、变式训练,深化提高变式训练:已知实数a,b>0,试比较的大小关系,并给出证明.五、反思小结,观点提炼1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?2.本节课你能感受到哪些数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境见过.这是赵爽弦图.在初中曾用它证明过勾股定理.直角三角形和正方形.三边的不等关系.x2+y2≥2xy或x2+y2>2xy.问题1:有可能相等;四个直角三角形的直角顶点会重合;此时x=y.结论(1):重要不等式:对任意实数x,y,我们有x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时,等号成立.问题2:

5、证明:(作差法)因为x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,所以x2+y2≥2xy.当且仅当x=y时,等号成立.问题3:当x=y时,并且只有x=y时,等号成立.结论(2):基本不等式:若a>0,b>0,可得a+b≥2,通常记为,当且仅当a=b时,等号成立.问题4:能.问题5:CD=,OD=,由图可得:CD=≤OD=.问题6:a=b时,等号成立;圆内半弦不超过半径.问题7:有的同学会回答平均数;有的同学可能会回答等比中项、等差中项.是我们平时求平均数的方法,我们称之为算数平均数;我们称为几何平均数.基本不等式我们可以解释为

6、几何平均数不大于算术平均数,这是它的代数解释.三、运用规律,解决问题【例1】C【例2】证明:因为x,y都是正数,所以≥2=2.当且仅当,即x=y时,等号成立.四、变式训练,深化提高变式训练:解:显然成立.因为a2+b2≥2ab,所以≥ab,故.因为≤0,所以.综上可知,当且仅当a=b时,等号成立.五、反思小结,观点提炼1.重要不等式、基本不等式;作差法证明不等式.2.化归思想、数形结合思想.