高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（1）学案 新人教A版必修.doc

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1、3.4基本不等式（1）学习目标　1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一　算术平均数与几何平均数思考　如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案　

2、PO

3、＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么

4、PQ

5、2＝

6、AQ

7、·

8、QB

9、，即

10、PQ

11、＝.梳理　一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≤.其几何意义如上图中的

12、P

13、O

14、≥

15、PQ

16、.知识点二　基本不等式及其常见推论思考　如何证明不等式≤(a>0，b>0)?答案　∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a＋b≥2，∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．梳理　≤(a>0，b>0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，＋≥2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．类型一　常见推论的证明例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2

17、ab.引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)．证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得()2≤，当且仅当a＝b时，取等号．反思与感悟　(1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1　已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．类

18、型二　用基本不等式证明不等式例2　已知x、y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明　(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．反思与感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定

19、理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2　已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明　∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成

20、立．类型三　用基本不等式比大小例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)则(　　)A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥答案　B解析　第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.反思与感悟　基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于

21、利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3　设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg，则P，Q，R的大小关系是(　　)A．R＜P＜QB．P＜Q＜RC．Q＜P＜RD．P＜R＜Q答案　B解析　∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，∴＞，即Q＞P.①又＞，∴lg＞lg＝(lga＋lgb)，即R＞Q.②综合①②，有P＜Q＜R.1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．5答案　C解析　∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．2．若0