高中数学第一章单调性与最大（小）值（第2课时）函数的最大（小）值学案（含解析）新人教A版

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1、第2课时　函数的最大(小)值学习目标　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．知识点一　函数的最大(小)值思考　在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案　最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．梳理　一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I

2、，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．知识点二　函数的最大(小)值的几何意义思考　函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．答案　当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．梳理　一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×)2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(×)3．函数f(x)取

3、最大值时，对应的x可能有无限多个．(√)4．如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(×)类型一　借助单调性求最值例1　已知函数f(x)＝(x>0)．(1)求证：f(x)在(0,1]上为增函数；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．考点　函数的最值及其几何意义题点　由函数单调性求最值(1)证明　设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x10，x1x2－1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)

4、单调递增．(2)解　当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值．反思与感悟　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整

5、个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练1　已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．考点　函数的最值及其几何意义题点　由函数单调性求最值解　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以，函数f(x)＝在区间[2,6]上是减函数．因此，函数f(x)＝在区间[2

6、,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是.类型二　求二次函数的最值例2　(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．考点　函数的最值及其几何意义题点　二次函数最值解　(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x

7、)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)∵对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.②当≤11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2

8、t－3.设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有g(t)＝φ(t