阅读与思考黄金分割研究简史

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1、习题1人体的正常体温为36～37℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1℃)解析　36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案　22.2～22.82.人体的正常体温为36～37℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1℃)解析　36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案　22.2～22.83.一个身高为170cm的人，肚脐离地面的最佳高度为__________cm(精确到1cm).解析　由170×0.618＝105.06≈105.答案　1054.现决定优选加工温度

2、，假定最佳温度在60℃到70℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为(　　)A.63.82℃B.66.18℃C.63.82℃或66.18℃D.65℃解析　若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案　C二、能力提升5.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析　根据0.618法可知，第

3、一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g)答案　171.8或148.26.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，假设最佳点在1400g，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解　由0.618法知x1＝1000＋0.618(2000－1000)＝1618(g)，x2＝1000＋2000－x1＝1382(g).由于1382g接近1400g，所以此时的存优范围为(1000，1618)，∴x3＝1000＋1618－1382

4、＝1236(g).7.如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆为“黄金椭圆”.(1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB为黄金双曲线－＝1的弦，M为AB的中点，若AB，OM的斜率存在，求kOM·kAB.解　(1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF⊥AB.则BO＝b，FO＝c，OA＝a，在Rt△ABF中，b2＝ac.又∵b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac⇒－－1＝0.∴e＝＝.又e＞1，∴e＝.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则

5、由①－②得＝.∵M是AB的中点，且x1≠x2，∴x0＝，y0＝，从而＝·.故kOM·kAB＝·＝＝.三、探究与创新8.已知线段AB，怎样作出它的黄金分割点？解　法一　在AB的端点B作BD⊥AB，使BD＝AB，连接AD，在AD上截取DE＝DB，再在AB上截取AC＝AE，则点C为所求作的黄金分割点，如图1.事实上，由作法可知AD＝AB，则AC＝AE＝AD－DB＝AD－AB＝AB，即证.图1法二　在AB上作正方形ABMN，在AN上取中点E，在NA的延长线上取EF＝EB.以AF为一边作正方形ACDF，则点C为所求作的黄金分割点，如图2.事实上，由AC＝AF＝EF－AE＝EB－A

6、E＝－AB＝AB，即证.9“黄金分割”在人类历史上有着重要的作用和影响，世界上许多著名的建筑和艺术品中都蕴涵着“黄金分割”．下面我们就用黄金分割来设计一把富有美感的纸扇：假设纸扇张开到最大时，扇形的面积与扇形所在圆的剩余部分的比值等于黄金比，请你来求一求纸扇张开的角度．（黄金比取0.6）·设扇形的半径为R，圆心角为n，则剩余扇形的圆心角为（360°-n），由题意得， nπ R 2360 ： (360-n) R 2360 =0.6，即n：（360°-n）=0.6，解得：n=135，答：纸扇张开的角度为135°．