2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式

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1、二　一般形式的柯西不等式一、选择题1．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．42．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(　　)A．5B．－5C．25D．－253．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于(　　)A.B.C.D.4．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(　　)A．3B．3C．18D．95．设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则

2、＋＋的最大值是(　　)A．1B.C．3D．96．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是(　　)A.B.C．6D．3二、填空题7．设a，b，c∈R＋，若(a＋b＋c)≥25恒成立，则正数k的最小值是________．8．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．9．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．10．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．三、解答题11．已知定义在R上的函数f(x)＝

3、

4、x＋1

5、＋

6、x－2

7、的最小值为a，又正数p，q，r满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.12．设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：＋＋…＋＋＞0.四、探究与拓展13．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________．14．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，则x，y，z的值分别为__________；(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，则正数t的取值范围为__________________．二　一般形式的柯

8、西不等式一、选择题1．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　A解析　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.2．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(　　)A．5B．－5C．25D．－25答案　B解析　(ab＋bc＋cd＋da)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，

9、当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．∴ab＋bc＋cd＋ad的最小值为－5.3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.4．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(　　)A．3B．3C．18D．9答案　B解析　由柯西不等式，得(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝3

10、[3(a＋b＋c)＋3]．∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3×6＝18，∴＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．5．设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)A．1B.C．3D．9答案　B6．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是(　　)A.B.C．6D．3答案　B解析　∵(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1，∴x2＋y2＋(1－x－y)2≥，当且仅当x＝y＝时等号成立．二、填空题7．设a，b，c∈R＋，若(a＋b＋c)≥25恒成立，则正数k的最

11、小值是________．答案　9解析　因为(a＋b＋c)≥(1＋1＋)2＝(2＋)2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以(a＋b＋c)·的最小值是(2＋)2.由(a＋b＋c)·≥25恒成立，得(2＋)2≥25.又k＞0，所以k≥9，所以正数k的最小值是9.8．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．答案　121解析　(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．9．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．答案　

12、4解析　由柯西不等式，得(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当＝＝，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴