2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式 同步练习 3

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1、2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式同步练习31.设a，b，c均为正数且a+b+c=9，则之最小值为　　　　　解：考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)()(a+b+c)Þ　()．9³(2+3+4)2=81Þ　³=92.设a,b,c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。解：考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)　　　∴，最小值为18等号发生于故　　　∴　又∴3.设空间向量的方向为a，b，g，0

2、2b+sin2g)[]³(1+3+5)22(csc2a+9csc2b+25csc2g)³81∴　csc2a+9csc2b+25csc2g³　∴　故最小值为【注】本题亦可求tan2a+9tan2b+25tan2g与cot2a+9cot2b+25cot2g之最小值，请自行练习。4.空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g均非象限角），求的最小值。解:由柯西不等式³∵　sin2a+sin2b+sin2g=2　∴　2∴　的最小值=185.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。答72利用柯西不等式解之【18】、设x,y,zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？答案

3、：　　　　若又∴∴　∴6.设rABC之三边长x，y，z满足x-2y+z=0及3x+y-2z=0，则rABC之最大角是多少度？【解】Þ　x：y：z=：：=3：5：7设三边长为x=3k，y=5k，z=7k则最大角度之cosq==-，∴q=120°7.设x，y，zÎR且，求x+y+z之最大值，最小值。Ans最大值7；最小值-3【解】∵　由柯西不等式知[42+()2+22]³　Þ　25´1³(x+y+z-2)2　Þ　5³

4、x+y+z-2

5、Þ　-5£x+y+z-2£5　∴　-3£x+y+z£7故x+y+z之最大值为7，最小值为-38.求2sinq+cosqsinf-cosqcosf的最大值与最小

6、值。答.最大值为，最小值为-【详解】令向量=(2sinq，cosq，-cosq)，=(1，sinf，cosf)由柯西不等式

7、．

8、£

9、

10、

11、

12、得

13、2sinq+cosqsinf-cosqcosf

14、£，£所求最大值为，最小值为-9.△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。10.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为

15、PQ

16、2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得(A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(

17、x-x0)+B(y-y0)］2=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］2=(Ax0+By0+C)2,所以

18、PQ

19、≥.当时,取等号,由垂线段最短得d=.11.已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得≤故λ的取值范围是［,+∞).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.