高中数学第2章平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明讲义

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1、2.1.1　平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2　柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1　柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2.2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、.3．柯西不等式的三角不等式：

8、α

9、＋

10、β

11、≥

12、α＋β

13、.4．柯西不等式的一般形式：设a1，a

14、2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥

15、a1b1＋a2b2＋…＋anbn

16、，其中等号成立⇔＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)．教材整理2　参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．2　　　　　B．4C．6D．8[解析]　由柯西不等式可求出(x＋y)≥＝(1＋)2，当x＝1，y＝时，(x＋y)的最小值是(＋1)2，故只需(1

17、＋)2≥9，即a≥4即可．[答案]　B利用柯西不等式证明不等式【例1】　已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.[精彩点拨]　如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答]　∵a，b，x，y大于0，∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥(a＋b)2＝(a＋b)2x1x2.又因为a＋b＝1，所以(a＋b)2x1x2＝x1x2，

18、其中等号当且仅当x1＝x2时成立．所以(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x1，x2，…，xn为正数，求证：(x1＋x2＋…＋xn)≥n2.[证明]　由柯西不等式得(x1＋x2＋…＋xn)≥＝n2，∴(x1＋x2＋…＋xn)≥

19、n2.利用柯西不等式求最值【例2】　设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．[精彩点拨]　由x＋y＋z＝1以及u＝2x2＋3y2＋z2的形式，联想柯西不等式，构造因式解决问题．[自主解答]　由x＋y＋z＝·x＋·y＋1·z.根据柯西不等式，有≤·(2x2＋3y2＋z2)＝(2x2＋3y2＋z2)，因此1＝(x＋y＋z)2≤(2x2＋3y2＋z2)，∴u＝2x2＋3y2＋z2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝λ时等号成立．∴x＝，y＝，z＝λ代入x＋y＋z＝1，得x＝，y＝，z＝时，等号成

20、立．故函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于对目标函数配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)适当添项；(4)适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值．2．若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝9，则x＋2y＋3z的最大值是________．[解析]　由柯西不等式得(x＋2y＋3z)2≤(1＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)＝14×9，故x＋2y＋3z≤3，所以x＋2y＋3z

21、的最大值是3.[答案]　3运用柯西不等式求参数的取值范围【例3】　已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨]　“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．[自主解答]　∵x>0，y>0，z>0，且x＋y＋z＝xyz，∴＋＋＝1.又＋＋≤＝≤＝，当且仅当x＝y＝z时，即x＝y＝z＝时等号成立，∴＋＋的最大值为.故＋＋≤λ恒成立时，应有λ≥.因此λ的取值范围是.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形

22、式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”的应用定理．3．已知函数f(x)＝2＋.若关于x的不等式f(x)≤

23、m－2

24、恒成立，求实数m的取值范围．[解]　由柯西不等式得(2＋)2≤(22＋12)·

25、()2＋()2

26、＝25，所以f(x)＝2＋≤5.当且仅当＝，即x＝4时，等号成立．又不等式f(x)≤

27、m－2

28、恒成立，所以

29、m－2

30、≥5，解得m≥7或m≤－3.故m的取值范围为(－∞，－3]∪[7，＋∞).柯西不等式的应用[探究问题]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式