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1、矩阵分解方法W探讨ThediscussionaboutdecompositionofMatrix专业:数学与应用数学作者:指导老师:学校二O一矩阵是数学研究屮一类重要的工具Z-,冇着非常广泛的应用,矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的分解、矩阵的QR分解、矩阵的满秩分解等儿个方面对矩阵分解方法进行了论述:给出了矩阵分解的儿种方法.关键词:矩阵,对称正定矩阵,矩阵的三角分解;矩阵的满秩分解;矩阵的Q/?分解.AbstractThematrixisaimportanttoolinclassofmat
2、hematicalresearch,andithasaverywiderangeofapplications,matrixdecompositionplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputationalmathematics.ThisarticlebeginatthediscussfromthematrixofLUdecomposition>MatrixoftheQRDecomposition>Matrixdecompositionoffullranka
3、ndsoon.givenamatrixfactorizationmethod.Keywords:Matrix;Symmetricpositivedefinitematrix,Triangulardecompositionofmatrix;matrixfullrankdecomposition;QRdecompositionofmatrix•摘耍IAbstract错误!未定义书签。0引言11矩阵的三角(Lt/)分解11.1矩阵的三角分解基木概念与定理11.2常用的三角分解公式71.2.1杜利特分解71.2.2克劳特分解71.
4、2.3乔累斯基分解82矩阵的满秩分解152.1矩阵的满秩分解基木概念与定理153矩阵的QR分解183.1矩阵的QR分解基本概念与定理183.2矩阵QR分解的常用方法203.2.1利用Householder矩阵变换203.2.2利用QR分解公式203.2.3利用列初等变换法21参考文献240引言矩阵的三角分解、止交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等.另一方面,构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方
5、法的建立提供了理论依据.本文从矩阵的LU分解;矩阵的QR分解;矩阵的满秩分解等几个方而对矩阵分解方法进行论述:探讨矩阵分解的方法.1矩阵的三角分解1.1矩阵的三角分解基本概念与定理定义1.1
6、s,设A6C,nXH,如果存在下三角矩阵LeCmxn和上三角矩阵UgCnx,n,使得A=LU,则称A可作三角分解或LU分解.定义1.2设A为对称止定矩阵,D为行列式不为零的任意对角矩阵,则A=〃为一个单位上三角矩阵,且^A=LDU成立:1)如果厶是单位下三角矩阵,D是对角矩阵,〃是单位上三角矩阵,则称分解A=LDU为LDU分解.2)如
7、果匸二LD是下三角矩阵,而U是单位上三角矩阵,则称三角分解A=LU为克劳特(Croat)分解;3)如果U=DU是单位下三角矩阵,口为上三角矩阵,则称三角分解A=LU为杜利特{Doolittle}分解;4)如果A=LDU=LDD^DU=LD~lU,称为不带平方根的乔累斯基(Choiesky)分解;丄丄丄丄5)女11^ID5=L,D^U=U,贝'JA=LDU=LD^DW=LU,由于V=E,则A=B,称为带平方根的乔累斯基(Choiesky)分解.定理1.1乃阶非奇异矩阵A可作三角分解的充要条件是人
8、工0伙=1,2,・・・,77
9、-1),这里比为A的鸟阶顺序主子阵,以下同.证明必要性.设非奇异矩阵A有三角分解A=LUf将其写成分块形式AJ10、0UJ人21^22>厶22丿4丿这里件和匕分别为厶和〃的k阶顺序主子阵.首先由卜卜0知口工0,
10、U
11、hO,从而
12、L』HO,叫工0;因此
13、A』=
14、L川U』hO(R=1,2,・・・,/7—1)・充分性.对阶数77作数学归纳法.当n=l时,A
15、=(6Z11)=(l)(6fn),结论成立.设对n=k结论成立,即Ak=LkUk,其中厶和匕分别是下三角矩阵和上三角矩阵.若
16、人卜0,则由A=L,Uk易知匕和s可逆.事实上
17、0、现证当n=k^时结论也成立,A“i=由归纳法原理知A可作三角分解.定理1・1给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件,由于A=r0<1不满足定理1.1的条件,所以它不能作三角分解.但厂00、P0、fl1、<00、n12>J2丿<11丿,0