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《（精）矩阵分解方法的探讨-毕业论文-毕业论文【WORD】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、矩阵分解方凝J探讨ThediscussionaboutdecompositionofMatrix专业：数学与应用数学作者:指导老师:学校二O一矩阵是数学研究屮一类重要的工具Z-,冇着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的厶（7分解、矩阵的Q/?分解、矩阵的满秩分解等儿个方面对矩阵分解方法进行了论述：给出了矩阵分解的儿种方法.关键词：矩阵，对称正定矩阵，矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的QR分解.AbstractThematrixisaimportanttoolinclassofmathematicalr
2、esearch,andithasaverywiderangeofapplications,matrixdecompositionplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputationalmathematics.ThisarticlebeginatthediscussfromthematrixofLUdecomposition>MatrixoftheQRDecomposition>Matrixdecompositionoffullrankandsoon.givenamatrixfact
3、orizationmethod.Keywords：Matrix;Symmetricpositivedefinitematrix,Triangulardecompositionofmatrix;matrixfullrankdecomposition;QRdecompositionofmatrix•摘耍IAbstract错误！未定义书签。0引言11矩阵的三角（厶U）分解11.1矩阵的三角分解基木概念与定理11.2常用的三角分解公式71.2.1杜利特分解71.2.2克劳特分解71.2.3乔累斯基分解82矩阵的满秩分解152.1矩阵的满秩分解基木概念与定理
4、153矩阵的QR分解183.1矩阵的QR分解基本概念与定理183.2矩阵QR分解的常用方法203.2.1利用Householder矩阵变换203.2.2利用QR分解公式203.2.3利用列初等变换法21参考文献240引言矩阵的三角分解、止交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积，这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等.另一方面，构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据.本文从矩阵的厶U分解；矩阵的QR分解；矩阵的满秩分解等几个方而对矩阵分解方法
5、进行论述：探讨矩阵分解的方法.1矩阵的三角分解1.1矩阵的三角分解基本概念与定理定义1.1
6、51设如果存在下三角矩阵LGCnMl和上三角矩阵UgCnx/W,使得A二LU,则称A可作三角分解或LU分解.定义1.2设A为对称止定矩阵，D为行列式不为零的任意对角矩阵，则A二屮，[/为一个单位上三角矩阵，且^A=LDU成立：1）如果厶是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称分解A=为厶DU分解.2）如果匸二LD是下三角矩阵，而U是单位上三角矩阵，则称三角分解A=LU为克劳特｛Croat）分解；3）如果U=DU是单位下三角矩阵，口为上三角矩阵
7、，则称三角分解A二厶（7为杜利特｛Doolittle｝分解;4）如果A=LDU=LDD^DU=LdxU,称为不带平方根的乔累斯基（Cholesk）^分解；丄丄丄丄5）女II果厶D2=L,D^U=U,贝1」4=厶0[7=厶MRu=询，由于0=1!,则A=LC,称为带平方根的乔累斯基（Cholesky）分解.定理1.1川阶非奇异矩阵A可作三角分解的充要条件是
8、人卜0伙=1,2,・・・/-1）,这里釦为A的邪介顺序主子阵，以下同.证明必要性.设非奇异矩阵4有三角分解4=厶卩，将其写成分块形式AJ10、UJ宀21^22><^21厶22丿〔0—丿这里亠，厶*
9、和匕分别为儿厶和U的比阶顺序主子阵.首先由卜卜0知口工0,
10、U
11、HO,从而
12、L』hO,
13、U』hO;因止匕
14、A』=
15、L』L
16、U』H0（k=l,2,・・・/—l）・充分性.对阶数〃作数学归纳法.当n=l时，A
17、二（®
18、）二（1）（如），结论成立.设对n=k结论成立，即=LkUk，其中厶和匕分别是下三角矩阵和上三角矩阵.若
19、讣0,则由=LkUk易知匕和匕可逆.事实上AC,、0、1/1°兔+1.A+I-仅ZcJ现证当n=k+时结论也成立,A&’+i由归纳法原理知A可作三角分解.不满足定定理1.1给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件，由于A=理1.1
20、的条件，所以它不能作三角分解.但P0、<00、r1、<00、(1)0-<2丿J2丿<11>,01丿<12丿A上例表明对于
