矩阵分解方法的探讨毕业论文

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1、矩阵傭旅醐讨ThediscussionaboutdecompositionofMatrix摘要矩阵是数学研究中一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的分解、矩阵的!2/?分解、矩阵的满秩分解等儿个方面对矩阵分解方法进行了论述：给出了矩阵分解的儿种方法.关键词：矩阵，对称正定矩阵，矩阵的三角分解;矩阵的满秩分解;矩阵的2/?分解.AbstractThematrixisaimportanttoolinclassofmathematicalresearc

2、h,andithasaverywiderangeofapplications,matrixdecompositionplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputationalmathematics.ThisarticlebeginatthediscussfromthematrixofLUdecomposition、MatrixoftheQRDecomposition、Matrixdecompositionoffullrankandsoon.giv

3、enamatrixfactorizationmethod.Keywords:Matrix;Symmetricpositivedefinitematrix,Triangulardecompositionofmatrix;matrixfullrankdecomposition;QRdecompositionofmatrix.«IAbstract错误!未定义书签。0^1g11矩阵的三角U(7)分解11.1矩阵的三角分解基本概念与定理11.2常用的三角分解公式71.2.1杜利特分解71.2.2克劳特分解71.2.3乔累

4、斯基分解82矩阵的满秩分解152.1矩阵的满秩分解基本概念与定理153矩阵的QR分解183.1矩阵的QR分解基本概念与定理183.2矩阵QR分解的常用方法203.2.1利用Householder矩阵变换203.2.2利用QR分解公式203.2.3利用列初等变换法21#考文240引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积，这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等.另一方面，构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方

5、法的建立提供了理论依据.本文从矩阵的分解；矩阵的（27?分解；矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述：探讨矩阵分解的方法.1矩阵的三角分解1.1矩阵的三角分解基本概念与定理定义1.1151设AeCwxn，如果存在下三角矩阵LeC■和上三角矩阵t/eC■，使得八=1^1,则称A可作三角分解或LU分解.定义1.2设A为对称正定矩阵，Z）为行列式不为零的任意对角矩阵，则4=y为一个单位上三角矩阵，且有=成立：1）如果L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，是单位上三角矩阵，则称分解A=LDU为LDU分解.2）如果t

6、=LD是下三角矩阵，而U是单位上三角矩阵，则称三角分解71=£（/为克劳特（Cmr/Z；）分解；3）如果=是单位下三角矩阵，0为上三角矩阵，则称三角分解A=为杜利特（£）卯/碰?）分解；4）A=LDU=LDD^DU=LD^U,称为不带平方根的乔累斯基（C/w/e吻，）分解；I15）如果lz^=£，dw=u,则a=ldu=ld¥u=L（），由于=r，则A=lUj称为带平方根的乔累斯基分解.定理1.1n阶非奇异矩阵A可作三角分解的充耍条件是卜00=1，2,…，n-1)，这里为A的々阶顺序主子阵，以下同.证明必要性

7、.设非奇异矩阵A有三角分解A=At/,将其写成分块形式

8、L

9、*0,

10、U卜0，从而

11、L々卜0,

12、U々pO;因此充分性.对阶数A2作数学归纳法.当n=l时，A,=()=(1)()，结论成立.设对=A结论成立，即人其屮A和(7k分别是下三角矩阵和上三角矩阵.若

13、人卜0,则由=易知LA.和(7k可逆.现证当n=Z:+l时结论也成立，事实上A+IA,c,L,0^u+J_lrX_，1"k0r由归纳法原理知A可作三角分解.不满足定定理1.

14、1给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件，由于4=理1.1的条件，所以它不能作三角分解.但上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理1.1的条件.首先指出，一个方阵的三角分解不是唯一的，从上面定义来看，杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解，其实，方阵的三角分解有无穷多，这是因为如果Z)是行列式不为零的任意对角矩阵，有A=LU(CD)(D-}U)=LUf其中Z，(？也分