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1、矩阵分解方法的探讨ThediscussionaboutdecompositionofMatrix专业:数学与应用数学作 者:指导老师:学校二○一摘要矩阵是数学研究中一类重要的工具之一,有着非常广泛的应用,矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的分解、矩阵的分解、矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行了论述:给出了矩阵分解的几种方法.关键词:矩阵,对称正定矩阵,矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的分解.IIAbstractThematrixisaimportanttoolinclasso
2、fmathematicalresearch,andithasaverywiderangeofapplications,matrixdecompositionplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputationalmathematics.ThisarticlebeginatthediscussfromthematrixofLUdecomposition、MatrixoftheQRDecomposition、Matrixdecompositionoffu
3、llrankandsoon.givenamatrixfactorizationmethod.Keywords:Matrix;Symmetricpositivedefinitematrix,Triangulardecompositionofmatrix;matrixfullrankdecomposition;decompositionofmatrix.II目录摘要IAbstractII0引言11矩阵的三角()分解11.1矩阵的三角分解基本概念与定理11.2常用的三角分解公式71.2.1杜利特分解71.2.2克劳特分解7
4、1.2.3乔累斯基分解82矩阵的满秩分解152.1矩阵的满秩分解基本概念与定理153矩阵的QR分解183.1矩阵的QR分解基本概念与定理183.2矩阵QR分解的常用方法203.2.1利用Householder矩阵变换203.2.2利用QR分解公式203.2.3利用列初等变换法21参考文献240引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等.另一方面,构造分解式的方法和过程也能够为某些
5、数值计算方法的建立提供了理论依据.本文从矩阵的分解；矩阵的分解；矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述:探讨矩阵分解的方法.1矩阵的三角分解1.1矩阵的三角分解基本概念与定理定义1.1设,如果存在下三角矩阵和上三角矩阵,使得,则称可作三角分解或分解.定义1.2设为对称正定矩阵,为行列式不为零的任意对角矩阵,则,为一个单位上三角矩阵,且有成立：1)如果是单位下三角矩阵,是对角矩阵,是单位上三角矩阵,则称分解为分解.2)如果是下三角矩阵,而是单位上三角矩阵,则称三角分解为克劳特分解;3)如果是单位下三角矩阵,为上
6、三角矩阵,则称三角分解为杜利特分解;4)如果,称为不带平方根的乔累斯基分解;5)如果,,则,由于,则,称为带平方根的乔累斯基分解.第24页,共24页定理1.1阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是,这里为的阶顺序主子阵,以下同.证明必要性.设非奇异矩阵有三角分解,将其写成分块形式这里,和分别为,和的阶顺序主子阵.首先由知,,从而,;因此.充分性.对阶数作数学归纳法.当n=1时,=（）=（1）（）,结论成立.设对结论成立,即,其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵.若,则由=易知和可逆.现证当时结论也成立,事实上.由归纳法原
7、理知A可作三角分解.定理1.1给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件,由于不满足定理1.1的条件,所以它不能作三角分解.但.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理1.1的条件.首先指出,一个方阵的三角分解不是唯一的,从上面定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解,其实,方阵的三角分解有无穷多,这是因为如果是行列式不为零的任意对角矩阵,有,其中也分别是下、上三角矩阵,从而也使A的一个三角分解.因的任意性,所以三角分解不唯一.这就是的分解式不唯一性问题,需规范化三角分解.定理1.2（基本定理）
8、设为阶方阵,则可以唯一地分解为第24页,共24页(1.1)的充分必要条件是的前个顺序主子式.其中,分别是单位下、上三角矩阵,是对角矩阵,,.证明充分性.若,则由定理1.1,即实现一个杜利特分解,其中为单位下三角矩阵,为上三角矩阵,记==,因为.下面分两种情况讨论：1)若非奇异,由式(1)有==,所以,这时令,则.于是有(1.2)是的一个分解.2
