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1、第六讲奇偶分析及其应用课程目标：1.理解奇数与偶数的性质；2.运用自然数的奇偶性分析解释与自然数有关的实际问题；3.促进分析问题能力、逻辑思维能力和想象能力的发展与提高.课程重点奇数与偶数的性质.课程难点运用奇偶性质分析解释实际问题.知识要点1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数.偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示.特别注意，因为0能被2整除，所以0是整数.2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数土偶数=偶数，奇数土奇数=偶数.性质2：偶数土奇数=奇数.性质3：偶数个奇数相加得偶数.性质4：奇数个奇数相
2、加得奇数.性质5：偶数X奇数=偶数，奇数X奇数=奇数.例题精选利用奇数和偶数的这些性质，我们巧妙地解决许多实际问题.例1.1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求和，再判別和奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以冇两种解法.解法1:•.*1+2+3+-+1993(1+1993)x1993"2=997x1993,又・・・997和1993是奇数，奇数X奇数二奇数,・・・原式的和是奇数.解法2J19934-2=996-1,・・・1〜1993的自然数屮，有996个偶数，有997个奇数.・・・996个偶
3、数Z和一定是偶数，又・・・奇数个奇数Z和是奇数，・・・997个奇数之和是奇数.因为，偶数+奇数二奇数，所以原式之和一定是奇数.例2—个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少?解法1：・・・相邻两个奇数相差2,150是这个要求的数的2倍.这个数是1504-2=75.解法2:设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+l,2a-l(a^l).则冇(2a+l)x-(2a-l)x=150,2ax+x~2ax+x=l50,2x=150,x=75・・・这个要求的数是75.例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡，就定要回赠贺年卡,那么，送了奇数张贺年卡的人数一定数
4、奇数,还是伸伸娄?为什么？分析此题初看好象缺总人数•但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关.解：由于是两人互送贺年卡，给每人分別标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数.送贺年卡的人可以分为两种：-•种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总和为偶数.另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=4所冇人送出的贺年卡总数■所有送出偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数二偶数■偶数二偶数.他们的总人数必须是偶数，才能使他们送出的贺年卡总数是偶数.所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数.例4已知a、b^Ck有一个是5,—个是6,
5、—个是7.求证a-1,b-2,c-3的乘积一定是偶数.证明：・・・a、b、c中有两个奇数，一个偶数，・・・a、c中至少有一个是奇数，・・・a-1,c-3中至少有一个是偶数.又J偶数X偶数二偶数，・・・(a-1)X(b-2)X(c-3)J是偶数.例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到的一个新数.试证新数与原数Z和不可能等于999.证明：设原数为赢，改变其各位数字顺序后得到的新数为丽假设原数与新数Z和为999,即赢+丽/二999.则有a+a/=b+b/=c+c/=9,因为9不会是进位后得到的乂因为a'、bJ是a、b、c调换顺序得到的，所以a+b+c二a+b'+cl因此，又有(a+a)+
6、(b+b)+(c+J)=9+9+9,即2(a+b+c)=3X9可见:等式左边是偶数，等式右边(3X9=27)是奇数.偶数H奇数.因此，等式不成立.所以此假设“原数与新数之和为999”是错误的.命题得证.这个证明过程教给我们一一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其它性质进行分析的推理，最麻得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”・例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：aXbXcXd-a=1991aXbXcXd—b二1993aXbXcXd—c=1995aXbXcXd—d=1997试说明：符合条件的整数a、b
7、、c、d是否存在.解：由原题等式组可知：a(bcd-l)=1991,b(acd-1)=1993,c(abd~l)=1995d(abcT)二1997V1991、1993、'1995、'1997均为奇数,且只有奇数X奇数二奇数，・・・a、b、c、d分别为奇数.・・・sXbXcXd二奇数.a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数.这与原题等式组矛盾.・•・不存在满足题设组的整数a、b、c、d.例7桌子上冇9只杯
