立几证明中常见逻辑错误与剖析

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1、立几证明中常见逻辑错误与剖析培养和发展学生的逻辑思维能力，这是立几教学历来强调的课题.实践表明，不重视其本逻辑方法的介绍，而一味追求在解题过程中“潜移默化”，只能是事倍功半.怎样将基本的逻辑方法有机地渗透于教学Z中呢？笔者认为，及时指出并纠正学生解题中存在的逻辑错课，让学生充分认识致谋的根源，对发展和提高学生的逻辑推理能力十分有益•为此，木文以立儿证明为例，揭示儿种常见的逻辑错误，以期与人家共同研究探讨.首选必须明确逻辑思维对证明的•基本耍求，即证明规则，共有五条：（1）论题要明确；（2）论题应当始终统一；（3）论据要真实；（4）论

2、据不能靠论题来证明；（5）论据必须能推出论题.如果证题过程中未能遵守证明规则，就会产生这样或那样的逻辑错误.这些逻辑错误主耍表现形式有以卜•儿种.1偷换论题根据同一律，在证明过程中，论题应当是始终同一的，不能中途变更，即/JT~必须遵守规则（2）.违反了这条规则所犯的逻辑错谋，称为偷换论题，以偏概全、Z——以特殊代替一般是偷换论题错误的主要表现形式.图1例1求证：与同一条宜线相交的所有平行线都在同一个平面内.已知：aAl=A,bAl=B,cQ上C,…，a//b//c求证：a、b、c、在同一平面内.证明（略）剖析此例可见于许多数学参考

3、书屮，仅看证明过程，往往觉得无懈可击.其实问题出在“已知”“求证”的叙述方式上.以“a〃b〃c…”来表示论题中的“所冇平行直线”是不妥的.因为“a〃/7〃C…”表示的平行直线构成的集合是可列集（即可以与白然数集N构成一一映射的集合）•而与同一氏线相交的所有平行线构成的集合是不可列集.也就是说前者是后者的真子集•因此，按上述“已知”“求证”所进行的证明，实际上仅证明了“所有平行线”中的一部分是共面的.犯了偷换论题的错谋.正确的做法宜将“已知”“求证”按如下方式叙述：已知：aDl=A,b是任意一条满足b//ciH/?0/=B的直线.求证

4、：a、b、/共面.例2.求证：两条平行直线和同一平面所成的角相等.（《立儿》第34页）《教参》中对此题的“已知”“求证”作如下叙述：已知：a//b,aCa=A,bQa=B,0）,02分别是a、b与a所成的角.求证：0]=02.剖析读者不难发现，例2屮所指的两条平行线未必是平面&的斜线.按“已知”“求证”的叙述，仅把它们当作Q的斜线来证，漏掉了其他两种可能的悄形•犯了偷换论题的错谋.2.虚假论据论据是确立论题真实性的理由•如果论据是假的，那么就不能确定论题的真实性•违反了这条规则（即规则（3））的逻辑错误叫虚假论据.例3如图2,正方

5、休ABCD—A^iCiD^屮，P、Q、R分别是上棱4B、?4久、AQ上的点，求证：HPQR为锐角三角形.错证：由题意可知QE平面AC,P、平面AC.又・・・04丄平面AC,・・・ZPAR是ZPQR在平面AC上的射影.:.ZPQR

6、,BC=1,AC=V5,B、C在平面Q内，A在Q外，且A在&上的射影为O,经计算容易得知，当二面角A-BC-O等于60°时，ZBAC=ZBOC,当二面角A—BC—O大于60°小于90°时，ZBAC>ZBOC.所以上述证法犯了虚假论据的逻辑错误.正确的证法如下.证明设AP=xfAQ=yfAR=z.贝ijPQ2=xhy2,QR2=/+z,PRSy2图3从而冇cosQpd，+b)+X2)-(y2+X)2x22&2+y2・J/+亡>0,:・ZQPR为锐角，同理可证ZPRQ、ZRQP也是锐角.故HPQR是锐介三和形.例4.已知：a、b是界面直

7、线，b丄a,b丄a,acta.求证：a//a.错证：•・•/?丄a,设垂足为3.乂・・・。、b异面，:・BZ设过B及a的平面为yRar}y=a如图4）Tb丄a,・・”丄o',又Tb丄a,:、d,又Ta0Q,••a//a.剖析：上述证明的论据之一是：“垂直地同一条白线的两条直线平行”.易知，该命题当仅当这三条直线共面时为真.因此，上述证明犯了虚假论据的逻辑错谋•正确的证法如下：证明Tb丄Q,设垂足为3,在b上取异于3的一点A,过A作d'〃久设a',b确定的平面为;r,且aCy-m.Tb丄Q,丄加.乂Ta'、b、加都在平面了内，由b丄

8、加、方丄a‘可知〃加.又Va/7af,/•a//m.Ta