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《根式函数的性质及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、根式函数y=E的性质及其应用摘要：关键词:1、引言高考题屮经常会出现含根式函数y亠Jb的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题.下面，我们对形如y=y/ax2+b^b>0）的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉.2、性质归纳性质1（定义域）R性质2（值域）[b,+x)性质3（单调性）在（-汽0）上单调递减，在（0,+oo）上单调递增性质4（奇偶性）偶函数性质5（对称性）关于y轴对称将根式函数=Jax，+b（a,b>0）变形为y2-ax2=b（a,b>0,y>b）9得性质6（特殊性）①该函数的图彖是焦点在y轴
2、上的双曲线的上支②有两条渐近线，方程为y=±血③该函数是上的凹函数冇了性质作辅助，遇题便冇章可依.3、典例分析例1已知且Q+b=l,求证：V4tz2+1+74/?+1>2^2证明：设函数/（x）=V4x2+l,它的图象是双曲线y2-^-=i的上支（如右图）4/⑴是R上的凹函数，・•・加;化/呼推广:贝U有工Jar；+b>Ja+加i=i牟E彳佇）L即得屁苛+阿兀2血正毕.若形gRj(i=1,2,•••,/!)，且工兀=1,/=!例2已知a,bwR,求证：I如2+1一丁4沪+1152丨0-1证明：①若a=h,显然成立.②若心b,原不等式等价于
3、丁4/+1-“4戸也匕2a-b
4、设函数/（X）=』4亡+1,则如!±1二如丈1可看作函数/（X）图象上任意两点a-b用,如+1）,施如+1）（心切连线的斜率，即转化为求导函数.厂⑴的值“I亦宀、4兀，宀—41x141x1小域问迩.•・•/（%）=,,••・Ij（x）1=<――<2如？+1V4x2+121兀I•・・lV4t/+l~V4/?+11<2・综上所述，IJ4/+1—J4沪+llW2la-bla-b点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率-2与2之间.例3当Ovovb时，求证：J4//2+1-『4/+1>翌工｝V4a2+1证明：原不等式等价于丁4戸+1-J4/旦〉滋
5、b_a（4/+1设函数/（x）=J4/+1,则J"+1-J乜土可看作函数/（兀）图象上任意两点b-aP（QjC））,⑹）连线的斜率•由高等数学中的拉格朗Fl中值定理可知，在上存在一点G使得b-a且/⑴一冶+1片>0,f（兀）在（恥）上单调递增.又•・・Ovdvfvb,••・f©>f(a)••・/(?_/«)>八Q)b-a即J4b~+1—V4ci~+1b-a4a』4ci?+1■-胳证毕.4、高考竞赛在线例4（2000年全国高考试题）设函数f（x）=4x^+1-ax,其中6/>0,求。的取值范围，使函数/⑴在区间［0,+oo）上是单调函数.解：不妨设C］:x=ax,C2:y
6、2=J/+1,整理得G：y}=ax,C2:yl-x2=（y>0）则函数/（x）表示双曲线y2-x2=i（y>0）及直线y=处对应兀的点的纵坐标Z差，又双曲线C?的渐近线为y=±x,从图理解可知，当且仅当ani时,函数/⑴在区间［0,+8）上是单调递减函数.尸r例5（2001年全国联赛试题）求函数y=x+J*_3x+2的值域解：因为y=x+ylx2-3x+2=a/x2-3x+2-(-x),不妨设C［：=-x,C2：y2=7%2-3x+2整理得G:y}=—x,C2：(x--
7、-)2-y92=丄(yn0)・2一4(x--)22则木题可转化为求双曲线一尹一-^-=l(y>0)
8、及直线y=-X对应X的点的距离差，其11【（X»2或X51）•（3、乂双曲线C?的渐近线为y=±x--,其中一条与y=-x平行.2丿从图立即可得函数的值域为［l,-）U［2,+oo）・25、拓宽延伸通过对根式函数y=皿+b图象和性质的研究，有助于遇到同类型题口吋消除陌生感，减弱畏惧心，6、总结提炼参考文献1江建平.导数的另类应用[J]•中学数学研究，2009年第6期2陆建.把握特征诱发直觉[J].屮学数学教学参考，2005年第6期
