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1、立体几何复习题副标题题号—•总分得分一、解答题(本大题共12小题，共144.0分)1.如图，四棱锥中，PA丄底面ABCD,AD\BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4tM为线段AD±一点，AM=2MD,"为PC的中点.(1)证明：MN
2、
3、平面PAB；(2)求直线4N与平面PMN所成角的正弦值.【答案】(1)证明：法一、如图，取PB屮点G,连接AG,NG,•••N为PC的中点，•••NGIIBC,且NG令BC,2又AM=^AD=2,BC=4,且AD\BCf.-.AM\BC,且AM弓BC,则NG\AMr且NG=AM,・•・四边形AMNG为平行四边形，则NM
4、
5、A
6、G,•••AGu平面PAB,NM0平面PAB,平面PAB；法二、在中，过N作NE丄AC,垂足为£,连接ME,在厶ABC'
7、>,由已知AB=AC=3,BC=4,得cosSC3=f^vADUBC,2(5•••cos乙EAM=J,则sin乙E4M二亍在AEAM屮，213-AM=^AD=2,AE=^AC=2^rtl余弦定理得：EM^AE2+AM2-2AE-AM-cos^EAM=^+4-2x
8、x2xj=
9、,g)2+4)2-41•••cos乙AEW二3——=z,2X2X2而在△ABC中，cosMAO；：；；；；?；.cos/AEM=cos乙BAC,即zAEM=z.BAC,:.AB
10、EM9则EM
11、
12、平面rflPA丄底［ffiABCD,得PA丄AC,又NELAC,•.NE\PAf则WE
13、
14、平面PA3.•:NECEM=E,••・平面NEA/II平面PAB,则MN
15、I平面PAB；2(2)解：在厶AMC屮，由AM=2fAC=3,cos乙AMC二亍，得2CM2=AC1+AM2-2AC*AM*cosZ-MAC=9+4-2x3x2x亍=5・••.aM+MC^AC2,则AM丄MC,•・PA丄底面ABCD,PAu平面PAD••.平面ABCD丄平面PAD,且平面ABCDD平面PAD=AD,.•.CM丄平面PAD,则平面PNW丄平面PAD.在平面PAD内，过A作AF
16、1PM,交PM于F,连接NF,则zANF为直线AN与平面PMN所成角.在Rt^PAC中，由N是PC的中点，得AN=^PC=^PA2+PC2=亠t心PA・4M4X24石在Rl'PAM中，由PA・AM二PM・AF,得AF=~^~==.AF8苗••・sinz力NF=丽=-j-=2・•・直线AN与平面PMN所成角的正弦值为磐.【解析】(1)法一、取PB中点G,连接AG,NG,由三角形的中位线定理可得NGIIBC,且NG吉BC,再由已知得AM\BCf且AM吕BC,得到NG
17、
18、AM,且NG二AM,说明四边形AMNG为平行四边形，可得NMWAG,由线而平行的判定得到MN
19、
20、平面PA
21、B；法二、证明MNII平面PAB,转化为证明平面NEMII平面PAB,在中，过N作NE1AC,垂足为E，连接ME,由已知PA丄底面ABCD,可得PA\NEf通过求解直角三角形得到MEWAB,由面面平行的判定可得平面NEMII平面P4B,则结论得证；(2)连接CM,证得CMLAD,进一步得到平面PNM丄平面PAD,在平面PAD内，过A作AFA.PM,交PM于F,连接WF,则"NF为直线A/V与平而所成角.然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正眩值.本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，
22、是中档题.2.已知四棱锥SMBCQ中，底面ABCD是边长为2的菱形,^BAD=60°,SA二SD=e,SB詡，点E是棱AD的中点,点F在棱SCt,且法儿SA
23、
24、平面BEF.(I)求实数入的值；(H)求三棱锥F-EBC的体积.【答案】解：(I)连接AC,设4CCBE二G,则平面SACC1平面EFB=FG,•・・SA
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26、平面EF3,・・・SA
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28、FG,AGAE1第2页，共14页4B•••△GEA〜△GBC,•••龙=~bc=29解得久=(H)•••S4=SD=〈5,.'.SE1AD,SE=2,又•••43二AD=2,zBAD=60°,；・BE=畐,：.S段+B^=SB2,・
29、・・SE丄BE,.-.SEI平面ABCD,所以Vp-bce=3^s-ebc~3^s-abcd=3x3x2x2sin60°x2=【解析】(I)连接AC,设ACQBE=G,推导出SA\FG,从而aGEA〜aGBC,由此能求出A=j.21(n)由vF_BCE=3vs_EBC=3vs_ABCD,能求出三棱锥F-EBC的体积.木题考查实数值的求法，考查儿何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、而而的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题.3.如图，在三棱柱ABC
