解密12+不等式-备战2018年高考数学（文）之高频考点解密+含解析

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解密12不等式解藩高考高考考点命题分析三年高考探源考査频率不等式的性质与一元二次不等式选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主，重点求FI标函数的最值，有时也与其他知识交汇考査.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.2016课标全国II1★★★线性规划2017课标全国I72017课标全国II72016课标全国I16★★★★基本不等式2017山东122015重庆14★★对直鯉藩考点1不等式的性质与一元二次不等式题组一不等式的性质调研1畔加，则下列结论不正确的是A.B.C.a+b<0D.|a|+|b>a+b【答案】D r.-?【解析】依题意得伙日〈0,A,B,C正确，而a+b=—a—b=a+bi故D错误，选D.晅。・:邃•冷色「龜。「晅・。織［晅•二龜晅吓蠶「。晅「廳。•。运・。：☆技巧点拨☆不等式的一些常用性质:（1）有关倒数的性质②a<0b>0,0力>0,/〃>0,刃（0—刃>0）；磚完，末M（力—刃>0）.舟」晅•二灌晅吓緞・°。晅。•。蠶。・"色.•。緞.»晅・"•龜题组二一元二次不等式调研2已知函数/（x）=/+ax+b（a,bwR）的值域为［0,+-）,若关于x的不等式f（x）0恒成立，则a的収值范围是.【答案】［1,19）【解析】①当a~-fAa-5=0时，有沪_5或沪1.若沪_5,不等式可化为24x+3>0,不满足题意；若a=l,不等式可化为3>0,满足题意. ②当时,不等式恒成立，需满足Vcr+4a—5>0解得10（或〈0）（白HO,A=Z?2—4ac>0）,如果臼与ax+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果日与ax^+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解.3.解含参数不等式要正确分类讨论.考点2线性规划题组一线性目标函数的最值及范围问题f2.x~y£0调研1已知变量X、y满足约朿条件j^2v+313则z=2兀+y的最大值为3A.0B.一2C.4D.5【答案】C【解析】作出不等式组表示的可行域如图屮阴影部分所示，即为三角形他的边界及其内部,作直线尸-2兀平移直线y=~2xy当直线尸-2卅z经过点C时的截距最大，此时的z最大，由("得尸1,Jz=2,即C(l,2),代入z=2丹y得Zmax=4,故选C.x~2y4-3=0 2x-j+4>0调研2己知不等式组《x+y-3<0表示的平面区域为Q（其中兀，歹是变量）.若目标函数y>0z=ax+6y{a>0）的最小值为-6,则实数。的值为3A.-B.621C.3D.-2【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由2=心:+6丿（。>（））得》，=-学+：,则66nnx7C1X7直线斜率一一v0,平移直线歹=——+—,由图彖可知，当直线y=——+—经过点A时，直线的截距66666最小，此时Z最小，为-6,由］2"-歹+：=0,得y=0x=-2/、八,即A（-2,0）,此时_2°+0=-6,解得y=0g=3，故选C.晅T邃•冷晅餾。」晅.•。廳广®・°.龜晅。・:邃「。晅「總°・°晅.•。電☆技巧点拨☆求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范I韦I；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数. ::晅•疸冒電「。色「餾。・°晅.•。廳1晅「邂晅V•電「。色「總。［色・。<题组二非线性日标函数的最值及范围问题x+J-7<0y调研3设禺y满足约束条件Jx-3y+l<0，则厂匚的最大值是3x-y-5>03B.-42D.-55A.-2、4C.一3【答案】C【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(三角形及其内部)，可得水2,1),y24"(3,4),C(5,2).二可看作区域内的点d,y)与原点0连线的斜率，则一二kocWzWk府—.可得z的最大值为x534—•故选C.3f/x+y-7=0«・3%-y-5=0654321B%-3y+l=0A晅吓総・冷隹°・。龜。•。晅・。龜.::晅・"•龜☆技巧点拨☆常见的非线性目标函数的几何意义(1)Jx?+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离；(2)J(x-ay+(y—b)2表示点(才,y)与点(自，切的距离;(3)上表示点匕，y)与原点(0,0)连线的斜率；X(4)口表示点匕，y)与点(白，方)连线的斜率.x-aO■■®•髦•0W。總。•。晅・•。聽.»眶「•総晅脅電<•OA遏O°■v;::S「庵； 题组三线性规划的实际应用调研4某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A,$要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品的有关数据如下表：因素产品A产品B备注研制成本、搭载费用之和元2030计划最大投资金额300万元产品质量/千克105最大搭载质量110千克预计收益加元8060则使总预计收益达到最大时,4$两种产品的搭载件数分别为B.&5D.&4A.9,4C.9,5【答案】A【解析】设“神舟十一号”飞船搭载新产品凡〃的件数分别为儿必最人收益为z万元则目标函数为z=80x^0y.20x+30y<3002x+3y<3010x+5y<110根据题意可知，约束条件为h>0y>0x.ygN2x+y<22即goy>0x.ygN不等式组所表示的可行域为如下图中阴影部分（包含边界）内的整数点，作出日标函数对应的直线厶显然直线/过点弭时影取得最人值.故M9,4).2x+3y=302x+y=22所以目标函数的最大值为2嘶=80X9托0X4二960,此时搭载产品/有9件,产品〃有4件.故选A. 却y<2x+y=22■Z…-10-5051(45^20%-5-80a+60v-^=0晅。・::電「。晅。・。餾。」晅.•。廳.»®•二龜o••QOO©・••rfs-©q••°4S■z•u■MS■・4☆技巧点拨☆对于线性规划的实际问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据I'可的关系，不妨用列表法.利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设岀未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误.O■■■晅。产電・冷晅「總。•。晅・。電.S题组四线性规划与其他知识的交汇x+>?>2调研5己知点0是坐标原点，点/(—1,—2),若点y)是平面区域?'、、z=%+2y~~2'~5 当目标函数z=x+2y表示的直线经过点〃(1,1)时取得最小值，最小值为1+2X1=3；当目标函数z=x+2y表示的直线经过点〃(1,2)时収得最大值，最大值为1+2X2=5.所以^+2ye[3,5],于是要使丄恒成立，只需丄W3,解得或〃KO,inm3故实数刃的取值范围是(-OO,0)U[-,+oo)•O■■■晅。严龜■晅。•。總°・°晅.•。總.S☆技巧点拨☆线性规划是代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现.传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点.但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向，即将它与函数、方程、数列、平面向量、解析儿何等知识交汇在一起考查.O■■cAS>OO••0•°「晅.•。鷄考点3基本不等式题组一利用基本不等式求最值11调研1已知正数咒丿满足兀+2y二1,贝卩+y的最小值为A.3+2^2B.4+^/2C.4农D.2+卯【答案】A111lxz、2yx「2yx--=(--)(x+2v)3+—->3+2x/2—-【解析】•・•正数3满足x+2y=l,.x+y*+y八"二兀+y'，当且仅当兀刁吋等号成立.r.-?故选A.晅。・:邃•冷色「龜。「晅・。織[晅•二龜晅吓蠶「。晅「廳。•。运：☆技巧点拨☆基本不等式的常用变形(1)a+b^2y[ab(a>0,方>0),当且仅当a=b时，等号成立.(2)/+〃32臼仏臼方W(臼,Z?eR),当且仅当a=b时，等号成立.Ao⑶才評(2〃同号且均不为零),当且仅当E时,等号成立. r.-?(4)宀@>0),当且仅当日时,等号成立；卄2&0),当且仅当爲=一1时,等号成立.晅。・:邃•冷色「龜。「晅・。織［晅•二龜晅吓蠶「。晅「廳。•。运・。：题组二基本不等式的综合应用调研2在7BC中,角4DC的对边分别为a,b,c,若a+b=2,c=前,则角C的最大值为A.60。B.90。C.120°D.150°【答案】Cab<(^=l【解析】由题意得k2丿，当且仅当a=b时等号成立.a2+b2-c2(a+b)2-2ab-c21-2ab11cosC==—--1>——・••由余弦定理得，2ab-2ab=2ab2ab2,・••角C的最大值为120。.强馅集洌1.(2017-2018学年辽宁省凌源市实验中学、凌源二中高三12月联考)己知集合>1=[%|-1<%<2},B={x|x2-x>0},则力aB=A.(-8,1]u(2,+8)B.[-1,0)u(1,2]D.(1,2]C.[1,2)【答案】B【解析】因为4={x—10}=[xx>1或h<0}「所以AnB={x—l0表示的平面区域内的是A.(0,0)B.(-2,0)C.(0,-1)D.(0,2)【答案】D【解析】将(0,0)代入(x+2y—l)(x—y+3)，得-3<0，不合题意；将(一2,0)代入 (x+2y-l)(兀一y+3)，得一3vO，不合题意；将(0,-1)代入(x+2y-l)(兀一y+3)，得一12v0,不合题意；将(0,2)代入(x+2y—l)(x—y+3)，得3>0，符合题意，故选D.12_2.(2017-2018学年内蒙古包头市第一中学高三上学期期中考试)若实数话满足a+b=yJf则必的最小值为A.V2B.2C.2的D.4【答案】CJab=一+—【解析】易知日A),Z?>0,则Qbb+2a、2Q2abab-ab,所以ab>2^2,当且仅当b=2q时,等号成立，取得最小值・3.(2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高三上学期期中考试)下列不等式一定成立的是C./+方I/快衣/仙方ER)1A.対尤$2(详0)D./+方空自'快自方"(曰，方丘的【答案】D【解析】因为好+£—工=(x—|)2>0,所以妒4-^>戈嗣+》色lgx,SPA错误;当龙工0时m4-^>2或无-F-<一2,即B错误;因为a?+护一(aS+ab2)=(a-b)s(a-t-b)的符号不确定，即C错误时+沪-(a^b4-aAa)=(a—A)z[(a+7)+響1>0,即於+b4>aa6-f-aAa.故选D・x+l>y无v34.(2017-2018学年宁夏石嘴山市第三屮学高三年级第一学期期中考试)已知实数圮y满足ly-l>0,若z=mx+y的最大值为10,则m=A.4B.3B.2D.1【答案】C[解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示： 54A/3/-3-2-1瑁012：45>X•1Mb-2-3目标函^z=mx+=-+z,LUjf^y=-mx^移动直线，当直线过点〃时，刁取得最大值10,所以10=3m+4,解得心,故选C.2.(广西桂林市、贺州市2018届高三上学期期末联考数学)已知正项等比数列gJ满足：幻=%+2。5,若存在两项勺乂“，使得aman=16a；，则-+-的最小值为"nmn4A.-B.933C.-D.不存在2【答案】C【解析】由题意可得：a5q2=a5q+2a5,贝q『—g—2=Q(g+l)(g—2)=(b由数列为正项数列'得q>0?即q=2>且c/九=码x/Jx吗x/J=1&彳〉则2阳42=16,J.m+n=6?|,当且仅*2…141(14—,Ifn4m1—+—=—xI—+—|x(?m+x)=—|5+—+——mn6n)6、m齐)6时等号成立.综上，丄+¥的最小值为2.本题选择c选项.mn2fx-y-2<0x+2y-4>03.(2017-2018学年云南省曲靖市第一屮学高三高考复习质量监测卷)设实数乙y满足I咒二0，则來+b的最小值为16A.4B.T68C.9D.0 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，冃标函数”+y2的几何意义是可行域内的点到162.（黑龙江哈尔滨市第三十二屮学2018届高三上学期期末考试数学）不等式兰二1〉1的解集为.X【答案】（—8,0）【解析】由£zl>]得1」〉1,1V0,则x<0.故所求不等式的解集为（-00,0）.XXX1a2时,不等式兀-2恒成立，则实数Q的取值范围是・【答案】（-8,4]11x+=兀一2++2N4”【解析】因为兀>2,所以x-2x-2当且仅当*3时収等号，所以"4.4.（2017-2018学年天津市实验屮学高三上学期第二次阶段考试）已知集合A={x|（x+2）（x-5）>0}力={x|m<%0,y>0且尢+y=2,则|c|的最小值是.【答案】卩【解析】因为|a|=b=1=且a・b=吉所以当c=xa+yb时肿=x2a2+2xya・b+y2b2=x2+xy+y2=（x+y）s—矽，又QO眾>0且x+y=2tXy<（乎『=:L当且仅当巧円时取〜二以>3,所以旳的最小值是VI14x>O^y>0»—+——13.（2017-2018学年甘肃省天水市第一中学高三上学期第二学段期中考试）已知xy，不等•（答案写成集合或区间格式）式亦-8m-X-yV0恒成立，则m的取值范围是【答案】（-1月）【解析】不等式m2-Qm-x-y<0恒成立，即m2-8m9,xy当JI仅当y=2x时取等号.em2-8mV9,解得-1VmV9.my=xH（m>04.（2017-2018学年江苏省南京市多校高三上学期第一次段考）已知函数x-1）. ⑴若加=1,求当兀>1时函数的最小值;⑵当尤<1时，函数有最大值-3,求实数m的值.【答案】(1)3；(2)4.【解析】(l)m=1时=x+—=x—1+—+1-丿*-1*-1因为工>直所以x-1>0,所=x-l4-^+1>2jo^l)^+l=3?当且仅当工-1=亠即无=2时取等号，X-1所以当工>1时函数的最小值为3.〔2)因为无<:L所以x-K0,所以y=x—l+J4-1=—(1—x+岂)4-1<—2J(1-刃汽+1=—2筋五+1-当且仅当1—工=二即无=1-嗣寸取等号，1-JC即函数的最犬值为_2俪+1,所以一2临+1=7解得观=4.2.(2018届江苏省泰州中学高三10月月考)己知二次函数/«=mx2-2x-3,关于实数尢的不等式兀力<0的解集为[-切・(1)当Q>0时，解关于％的不等式:ax?+n+l>(m+l)x+2ax；(2)是否存在实数ae(0,1),使得关于％的函数y=Kax)-3ax+xe[lf2])的最小值为-5?若存在，求实数a的值;若不存在,说明理rti._^-1【答案】(1)见解析；(2)Q=2. 【解析】⑴由不等—2x—3<0的解集为［-1®获咲于%的方程znx?-2x-3=0的两根为-1和比且m>6由根与系数的关系,得-"1+n=^.rm=l_lxn=_£••Ui=3‘fn所以所求不等式化为O-2)(az-2)>0,①当00且2<牛解得％>十或丸<2;②当口=1时，所求不等式化为0-2)2>0解得北GR且尤H2;③当口>1时，所求不等式化为0-2疋—°>0且2>丫解得北<綁现>2;综上所述，当0Va冬1时，所求不等式的解集为｛工|工>专或k<2｝；当a>1时,所求不等式的解集为倒龙>2或x今｝・(2)假设存在满足条件的实数a,由⑴得机=VW=x2-2x-3,y=f(ax)-3ax+1=a2x-(3a+2)ax-3,令(/=t(a21,2.（2017新课标全国I文科）设丸，y满足约束条件〔^-°9则沪丹y的最大值为A.0B.1C.2D.3z=K+p经过J（3,O）时z取得最大值，故【答案】D【解析】如團，作出不等式组表示的可行域，则目标函数%匹=3+0=3,故选D・八【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先市不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范圉. 1.（2015重庆文科）设a,b>0,a+b=5,则Ja+l+J/?+3的最大值为【答案】3迈【解析】由2ab<^^两边同时加上/+沪，得（°+疔£2（/+沪），两边再同时开方即得：°+尿叔/+护）（oaO^aO且当且仅当o=b时取7力从而有后T+亦刁兰荡=3Ji（当且仅当4+1=乃+3,即°=?上=丄日寸广v22成立力故填3血.2.（2016新课标全国I文科）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料lkg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工吋，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润Z和的最大值为元.【答案】216000【解析】设生产产品A、产胡B分别为兀、y件，利润之和为z元，那么由题意得约束条件 1.5x4-0.5^150,x+0.3y^0a<5兀+3応600,目标函数z=21(Xbc+900八空0,妙0.■3jc+yW300,l(bc+3穴900,约束条件等价于〔5兀+3尺600,①作出二元一；欠不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将―啦+叫变形，得尸-卜+爲，作直线：―卜并平移，当直线「!+盒经过点JW时〉N取得最大值一解力程组,得M的坐标为(60,100)•10x+3y=9005x+3y=600所以当兀=6()，y=l00时，zmax=2100x60+900x100=216000•故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题的形式出现，基木题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.