数值分析-第三次作业

《数值分析-第三次作业》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、习题・pdf第六章解线性方程组的迭代法2.考察用Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代解线性方程组Ax=b,证(30—2'明若取4=021，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛I_212丿快。解：由寸」A为对称矩阵,且311,322/333均大于0,故：Gauss-Seidel方法收敛的充要条件是A为正定矩阵；Jacobi方法收敛的充要条件是A和2D-A均为止定矩阵。0-221=1>0,对矩阵A,顺序主子式△i=3>0』2=q=6>0』3=0A故A为正定矩阵30-20-2/3021=0212/2-1对2D-A矩阵，顺序主子式△]=3>0A=q3=6>0,A3=02

2、02-11>0,故2D-A为正定矩阵/30综上，对线性方程组Ax=b,若A=02-21则Gauss-Se隔方法和Jacobi方法均收敛。FtlTGauss-Seidel方法利用了更新值，其收敛速度更快。3.用SOR方法解方程组(分别取松地因子3=1.03,3=1,3=1.1)4a;1—X2=1；1-xi+4①2—叼一叼+4叼=4;=—3.将确解E要求当忖-卅)oo<5X10-6时迭代终止。并且对每一个2值确定迭代次数。解:取x(o)=O,SOR法迭代公式为'兀严）=申+专（1_4护+沙））<+#（4+讦+D-4尢缪+x$））尢仇+1）_x（k）--（3-r（k+1）+牡仇））l

3、九3_人3422~宀•人3丿1）当3=1.03,迭代到第6次时，兀⑹=（0.500000280744456,1.000000091599815,—0.499999984294099）x—x（6）L=3.88050172606124710"7<510~6,满足要求。2）当3=1,迭代到第7次时，x⑺=（0.500000476837158,1.000000238418579,-0.499999940395355）x一兀⑹IL=7.74860382080078110~7<510~6,满足要求。3）当3=1.1,迭代到第7次吋，兀⑺=（0.499999235607344,0.999999

4、924905289,-0.500000016711780）x一x⑹IL=8.56199146970215710~7<510~6,满足要求。第七章方程求根2.为求方程云—工2_1在工0=1.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式。(1)工=1+1/t2,迭代公式观・+i=14-1/玮：(2)x3=1+工2,迭代公式现+1=/1+垛;(3)X2=1/(®-1),迭代公式耳+1=—lo试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解:⑴•・•(p(x)=1+令,0(x)=一2兀一亏0(兀0)=21.5-3«0.59259<1・•・该迭

5、代公式收敛22(2)v(p(x)=Vl+x2,(pz(x)=-x(l+x2)~3,1・••该迭代公式发散由于⑵式与(1)式相比，L更小，故选择(2)式进行计算。依题意可知，需求具有4位有效数字的近似根，取m=0,n=4故需满足11-%<1%/c-X/c-ll<210°_4+1=210_3计算结果如下表所示,kXk11.48124821.47270631.46881741.467048

6、51.46624361.465877由于兀6一兀5I<-10-3,故取无=x6«1.46624.用卜列方法求/(X)=一3©一1=o在削=2附近的根，根的浪确值x=1.87938524•…，要求计算结果准确到四位有效数字］(1)用牛顿法；(2)用弦截法,取无0=2,xi=1.9：(3)JIJ抛物线法，取列=1,X=3,叼=2；解：由题目，要求计算结果精确到4位有效数字，取m=0,n=4,即11xk-x"<-100_4+1=-10-3⑴由牛顿法，有迭代公式Xk+1=Xk-=xk-5；：：罗列表计算如下：kXk0211.88888888921.879451567由上表可知，当迭

7、代2次时，xk-x^<10-3,故取x=%2«1.879乙(2)出弦截法，冇迭代公式尢=xk-际_Xk_J列表计算如下:kxK0211.921.88109393631.879411060由上表可知，当迭代2次时，xk-x^<10-3,故取%=%3«1-879乙(3)由抛物线法，有迭代公式xk+i=Xk_e+sgn(co)V^2-^f(xk)f[xktxk_lfxk_2]O)=fxkfXk_1+f[xktxk_ltxk_2{xk-Xk_^列表计算如下:kxK01132