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《高中数学5.6数学归纳法与不等式知识导航学案苏教版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、5.6数学归纳法与不等式自主整理数学归纳法证明命题p(n)的两个步骤：第一步:证明命题成立，即证命题当n取第一个值(例如no=l,2等)时成第二步:假设命题P(k)(k£N：且k^no)成立,证明成立，根据以上两步得到当且nEN*时命题P(n)成立.高手笔记1.数学归纳法是证明与正整数n有关的命题的一种方法.2.数学归纳法证明命题的原理：第一步证明当n二n。时命题成立，即P(n°)成立.由P(n°)成立与第二步可得P(n°+1)成立;由P(no+1)成立及第二步，可得PW2)成立……依次类推，可得对于任意的自然数n(n^n0),命题P(n)都成立.3.数学归纳法的两个步骤缺一不可,最后要总结
2、所要证的结论.4.数学归纳法中所取的第一个值n,不一定是1,有可能是0,2,3等值,要审清题意.名师解惑数学归纳法及英证明思路是什么？剖析：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法，它包括不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法.我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的，其正确性可用数学归纳法来证明.数学归纳法一般用来证明涉及与正整数n有关的命题,但不能说证明所有的与正整数n有关的命题都可用数学归纳法.用数学归纳法证明问题吋，两步缺一不可.第一步是基础;笫二步反映了无限递推关系，即命题的正确性
3、具有传递性，若只有第一步而没有第二步，只有证明了命题在特殊情况下的•正确性是不完全归纳法.若只有第二步没有第一步，那么假设n二k成立，即P(k)成立就没有根据，缺少递推的基础，也无法进行递推,有了步骤一和步骤二使传递成为可能，由一、二步得出命题成立.证明时归纳假设的利用是数学归纳法证明的关键，即第二步必须用上假设n=k成立推证出n=k+l成立,在证明过程中，需根据命题的变化、特点，利用拼凑或放缩，得岀结论.讲练互动【例1］用数学归纳法证明111111++…+=++…+.1x23x4(2/?-l)x2nn+1几+2n+rt分析:用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,关键是第二步，要注意当n
4、二k+1时，等式两边的式子与n二k时等式两边的式子的联系，增加了哪些项,减少了哪些项，随n怎样变化.证明:(1)当n二1时,左边二」一二丄，右边二丄，等式成立.1x222(2)假设当n二k时等式成立，即丄+^—+・・・+!1x23x4(2k-)x2k111二1,k+1k+22k则当n二k+1时,左边二111x23x4(2£-l)x2k(2£+1)(2£+2)1111二11k+k+22k(2k+l)(2k+2)111z11、1=1F()HR+2k+32k2"12k+2k+111111二1••d11£+2jt+32k2£+l2k+211111111伙+1)+1伙+1)+2仗+1)+£伙+1)
5、+伙+1)二右边.当n二k+1时等式成立.由(1)(2)可知等式恒成立.绿色通道用数学归纳法证明恒等式时，一定注意等式两边的式子随n怎样变化，需要增加哪些项,且当n二k+1时，代入假设后要进行观察,进行适当变换完成.变式训练1.用数学归纳法证明l2-22+3-42+—+(2n-l)2-(2n)(l+2+3+・・・+2n).证明：⑴当n二1时，左边=12-22=-3,右边二-(1+2XI)二-3,・•・左边二右边，等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立，即l2-22+32-42+-+(2k-l)2-(2k)2=-(l+2+-+2k),则当n=k+l时，左边二1-22+3-42+-+(2k-l
6、)2-(2k)2+(2k+l)2-E2(k+1)]=-(1+2+-+2k)+(2k+l)2-[2(k+1)]2二-(l+2+3+・・・+2k)+[(2k+l)+2(k+l)][(2k+l)-2(k+l)]二-(l+2+3+・・・+2k)-(2k+l)-2(k+1)=-[l+2+3+・・・+(2k+l)+2(k+l)]二右边.・••当n二k+1时，等式成立.由(1)(2),可知等式恒成立.【例2】设二Jlx2+J2x3+•••+J〃(斤+1)(neN).证明一n(n+l)〈an〈一(n+1)2.22分析:本题中务很难求和，可用数学归纳法证明.证明：⑴当n=l时,an=V2,—n(n+l)=l,
7、—(n+l)2=2.12当n二1时不等式成立.(2)假设当n二k时不等式成立，即丄k(k+l)
