高中数学 5.6 数学归纳法与不等式同步测控 苏教版选修4-5

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1、5.6运用数学归纳法证明不等式同步测控我夯基,我达标1.用数学归纳法证明“≥(n∈N*)”时,由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是()A.B.C.D.解析:当n=k时,不等式为,当n=k+1时,不等式为,即为∴选C.答案:C2.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步即证下述哪个不等式成立()A.1<2B.1+<2C.1++<2D.1+<2解析:∵n>1,n∈N*,∴第一步中n取2.∴左边=1++=1++.答案:C3.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是()A.n∈N*B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4解析:当

2、n=1时,不等式为2>1成立,当n=2时,不等式为22>22不成立.当n=4时,24>42不成立,排除A、B、C.选择D.答案:D4.用数学归纳法证明“1+++…+1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:当n=k时,不等式为1+++…+

3、,不等式成立.(2)假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即,∴f(2)>.

4、∴m<24×(+)=14.答案:B7.设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论()A.f(2n)>B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对解析:f(2)=,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>.所以猜想f(2n)≥.答案:C8.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立,a、b的值应该等于()A.a=1,b=3

5、B.a=-1,b=1C.a=1,b=2D.a=2,b=3解析:令n=1,n=2得到关于a、b的方程组,解之即可.答案:D我综合，我发展9.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,则得出结论:__________.解析:观察得到从n开始连续加(2n-1)个自然数之和,右边为中间奇数的平方,∴结论为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)210.在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,

6、则S2,S3,S4分别为______,猜想Sn=_________.解析:∵Sn,Sn+1,2S1成等差数列,∴2Sn+1=Sn+2S1.又∵S1=a1=1,∴2S2=S1+2S1=3S1=3.∴S2==,2S3=S2+2S1=+2=.于是S3==.由此猜想Sn=.答案:,,11.用数学归纳法证明+…+,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是______________.解析:观察用k+1替换不等式中的n,即为+…+>-.答案:12.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,那么a

7、=_____________,b=_____________,c=_______________.解析:当n=1,n=2,n=3时得到三个等式,解方程组求得a、b、c.答案:13.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式(1+)(1+)…(1+)>成立.分析:注意由n=k到n=k+1时的变化部分及应用归纳假设后的变形技巧.证明:(1)当n=2时,左边=1+=,右边=,左边>右边,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即(1+)(1+)…(1+)>成立,则当n=k+1时,左边=(1+)(1+)…(1+)(1+)>===右边.∴当n=k+1时,

8、不等式成立.由(1)(2),可知不等式对一切大于1的自然数n都成立.14.设数列