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《高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.3幂函数学习导航学案新人教B版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3摹函数自主整理1.幕函数的定义⑴定义：一般地，我们把形如y二x°(aGR)的函数叫做幕函数,其屮x为自变量，a为常数.(2)关于定义的理解：①慕的底数是自变量；②幕的指数是一个常数,它可以取任意实数;_1_③幕值前面的系数是1,否则不是幕函数，如两数注迁就不是幕函数.④幕函数的定义域是使乂。有意义的所有x的集合，因a的不同，定义域也不同,如函数yp2的定义域为R，而函数y二丄的定义域为{x
2、xWR,且xHO}._1_2.函数y二x,y=x2,y=x3,y=x2,y二x：的图象与性质:y二xY=x2y=x3
3、1y=x2y=x*图象yn-?-2-K◎01234X•—1-2-3定义域RRR[0,+8)0)U(0,+8)值域R[0,+8)R[0,+8)0)U(0,+8)奇偶性童遇童非奇非偶童单调性壇(0・+oo)/(—oo.O)壇增(0・+°°)/(—°°・0)定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)3.幕函数的性质当n>0时,幕函数y=x"有下列性质:(1)图彖都通过点(0,0),(1,1)；(2)在第一象限内，函数值y随x的增大而增大.当n<0时,幕函数y
4、=xr的性质:(1)图象都过点(1,1);(2)图彖以直线x=0,y二0为渐近线；(3)在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小;(4)xW(0,l)时，n越大曲线越靠近y轴;xW(l,+8)时，n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数是否为帚函数时要根据定义，即X。的系数为1,指数位置的a为一个常数，且常数项要为0,或者经过变形后满足条件的均可.2.在研究幕的性质吋，通常将分数指数幕化为根式形式，负指数整数幕化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：如何分析强函数,虽然指数各不同,大于0吋抛物线
5、,还有0到1之间,不仅开口向右方,函数奇偶看指数,奇母偶子偶函数,图象第一象限内,名师解惑记住图象是关键分类之后变简单小于0吋双曲线抛物开口方向变原来图象取一半奇母奇子奇函数偶母非奇偶函数函数增减看正负1.如何理解幕函数的图象和性质？剖析：幕函数y=x“的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面儿个方面来把握：(l)n<0时，图象不过原点，在第一象限内图象是下降的曲线，幕函数的图象在区I'可(0,+<-)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+
6、8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.n>0时，图象必经过原点和(1,1)两定点，在第一象限内图象是上升的曲线，并且在区间[0,+8)上是增函数.(2)幕函数的图象和性质，可归纳为下表：图象幕函数y=xn(n为常数)n>0n<0yk/"增大M产丄八n增大r;^0123x-1-2-301”增大性质(1)图象都通过点(0,0)和(1,1)；(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大(1)图象都通过(1,1);(2)在第一象限内，函数值随x的增大而减小；(3)以x、y轴为渐近线2.当n取不同的有理数时，幕函数y二
7、才的定义域怎样?剖析：当时，定义域为R；当n=0时,定义域为｛x
8、xHO｝；当n为负整数吋，定义域为｛x
9、xHO｝；当n=—(p,q^N*,q>l且p,q互质)口寸，q①若q为偶数，则定义域为［0,+8)；②若q为奇数，则定义域为R;当n-——(p,q^N*,q>l且p,q互质)吋，q①若q为偶数，则定义域为(0,+8)；②若q为奇数，则定义域为｛x
10、xHO｝.讲练互动【例题1】若(a+l)飞<(3-2a)刁，则a的取值范围是.I解析：因为函数y=x2在［0,+◎上单调递增，所以y=x2在(o,+8)上单调递减
11、.a+1>3—2。，所以也+1>0,3—2。>0.23解得一Va<—・3223答案：(-,-)32绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便.黑色陷阱忘记负指数幕函数底数需大于0,将导致解题错误.用幕函数的单调性解不等式，但要注意x的取值范围.变式训练1.己知(x-3)3<(l+2x)亍,求x的取值范围.--—1分析:其实质是解不等式(x-3)3<(1+2x)彳，由于不等式的左右两边的幕指数都是-一，因3此可借助于慕函数y二x刁的图象性质来求解.解：因为y二x刁在(-qo^o)和(0
12、,+8)上为减函数.x>0时,y>0；x<0时，y<0,原不等式可以化为：x・3>1+2x,1+2x>0,x-3>l+2x,x-3<0,[l+2x>0,③[x-3<0.①无解；②的解为x<-4；③的解是一丄13、x<-4或一丄
