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1、【理】十三、空间向量第1节空间坐标系与空间向量考纲要求考纲研读空间向量及其运算⑴了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的止交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运川向量的数量积判断向量的共线与垂直.本节知识是代数化方法研究几何问题的基础,向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向呆运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点.1.空间向量的概念在空间，既有人小又有方向的最，叫做，记作a或4B•空间向量可以在空间内H由平行移动.2.空间向最的运算(1)加法：AB+BC=AC^角形法则：首尾相连，指向终点)
2、.(2)减法:AB-AC=CB(E.角形法则：共点出发,指向被减).⑶数乘向量："(入GR)仍是一个向量，且"与a共线，
3、Xa
4、=
5、X
6、
7、a
8、.(4)数量积:a•b=a•
9、b
10、cos〈a,b〉，a•b是一个实数.3.空间向量的运算律⑴交换律：a+b=b+a；a•b=b•a.(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(入a)・b=(a・b)(nwR)[注意:(a•b)c=a(b•c)—般不成立].(3)分配律：入(a+b)=Xa+入b(入WR)；a•(b+c)=a•b+a•c.4.空间向量的坐标运算也叫点P的坐标.⑴若OP=xi+yj+zkf那么(x,yfz)叫做向量OP的坐标（
11、2）设a=（xfytzj,b—（%2»力，7）,那么a±b=；Xa=；ab=；cos〈a,b〉=.（3）Mj（xi，yi，zi）,M2（x2,y2，a），则
12、硕I=p（X
13、—X2）2+（门一力）'+（Z1—Z2）2（4）对于非零向量a与b,设a=（X],yPzj,b=（x2,y2»z2）,那么有a〃bOa=AJbOX]=沁＜2，yi=^y2，zi—Xz2；a丄bOa・b=0Ox[X2+yiy2+z]Z?=0・[泉砒自测'巧《时风向标》1.已知向量a=(l丄0),b=(—l,o,2),且ka+b与2a~b互相垂直,则k值是()137A・1B・§C.§D.§2.已知向量a=(-2f-3,
14、1),b=(2,0,4),c=(—4,-6,2),则下列结论正确的是()A.a〃b,b±cB・a〃b,a丄cC.a〃c,a丄bD・以上都不对3.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O球面上有两个点A,B的坐标分别为A(l,2,2),B(2,—2,1),则
15、AB
16、=()A.18B.12C.3返D.2迈4.(广东)若向量a=(l,l,x),b=(l,2,l),c=(l,l,l),满足条件(c_a)•(2b)=—2,则x=.5.在空间宜角坐标系屮，已知点A(l,0,2),B(l,-3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是・强祀训练1.己知点A(1,0,0)，B(0,l,
17、0),C(0,0,l),则平面ABC的法向量可以是()(1)A.(1,1,1)B.—1,—,1I2丿(1、C.0,-,0D.(—1,0,1)I2丿2.如图，已知直三棱柱ABC—A
18、B]C]中，ZABC为等腰直角三角形，ZBAC=90°,且AB=AAPD,E,F分别为B]A,C]C,BC的中点.求证：(1)DE〃平而ABC；(2)BiF丄平面AEF...IT3.如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ZABC=^0/丄底面4BCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点.⑴证明：直线MN〃平面OCD；(2)求界而直线AB与MD所成角的大小.1.运用空间向量的朋标运算
19、解决儿何问题时，首先要恰当建立空间直角处标系，计算出和关点的朋标,进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论•如利用两个向量(非零)数量积为零，可证明空间肓线垂肓；利用数量积可计算两异而肓线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线而平行等；利用向量的射影、平而的法向量，可求点面距、线面角、异面直线所成的角等.2.在近年高考试卷中，立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局.一直以来立体几何解答题都是让广大考生乂喜乂忧.为之而喜是因为只要能建立点角处标系，基本上可以处理立体儿何绝人多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形來讲建系的难度较人，
20、问题不能得到很好的解决.很多省份的立体几何试题均存在这个问题，很多考生由于建系问题导致立体几何的完成情况不是很好，而利用传统的方法来做这道题相当于口乳题，因此在复习过程中，不能完全依靠空间向量解题.第2节空间中角与距离的计算考纲要求考纲研读空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量■(2)能用向量语言表述直线与直线、冇•线与平而、平而与平而的垂直、平行关系(3)能川向量方法解决直线与直线、宜线与平面、平面与平面的夹角的计算
