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《芝罘区数学空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、解法一：以A为原点而、丽、两分别为x轴、)，轴、z轴的芝杲区数学空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)空间角能比较集中的反映学牛:对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，儿乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°V0W90°、0°weW90°、0°<0W180°。空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向最的坐标运算来解。空间角的求法一般是：i找、二证、三求解，手段上可采用：几何法(正余弦定理)和向量法。下面举例说明。一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体ABCD-A^C^中，已知
2、=AD=3,AA,=2OE、F分别是线段AB.BC上的点，kEB=FB=l0求直线EC】与F0所成的角的余弦值。思路一：木题易于建立空间直角坐标系，把EG与所成角看作向量荒与丽的夹角，用向量法求解。思路二：平移线段GE让©与D重合。转化为平面角，放到三角形屮，用几何法求解。(图1)正向建立空间直角处标系，则有D)(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C
3、(4,3,2),于是疋=(1,3,2),阳=(-4,2,2)设EG与FD]所成的角为0,贝COS0=EC「FD、EC.•~FD,lx(-4)+3x2+2x2J12+32+22x7(-4)2+22+22a/21IT・・・肓线£C,
4、与FD、所成的角的余弦值为—14解法二：延长BA至点E],使AE]=1,连结E[F、DE】、D】E】、DF,冇D]C]〃E]E,D]C】=E]E,则四边形DjEjECj是平行四边形。则E】D
5、//EC】丁•是ZEQiF为直线EC、UFD、所成的角。在RtZBE
6、F屮，E}F=yjE}F2+BF2=2+12=。D、E=』DE：+DD：=JAEf+AD?+DDf在RtADjDEi中,,i_=Vl2+32+22=V14在RtADjDF中，FDl=JFD?+DD：=Jcf'+CD'+DD：=V22+42+22=V24在△E
7、FD】屮，由余弦定理得：YD「豐船养誓/77・・・直线EC、与FD.所成
8、的角的余弦值为计。可见，“转化”是求异面肓线所成也的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面肓线h、12的夹角的余弦为:cos卩-ACBD二、直线和平面所成的角斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平而所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设0为直线1与平面a所成的角，0为直线1的方向向量卩与平面a的法向fiwZ间的夹角，则冇0=——&或卩=—+&（图2）22图27T7T特别地0=0时，&=一，/丄a；0=—时，&=0,Ica或22_
9、I//ao例2如图3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,X图3yZACB=90°,侧棱AA,=2,D,E分别是CC〔与A】B的中点，点E在平面ABD上的射影是AABD的重心G。求A】B与平
10、衍ABD所成角的大小。解以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC
11、所在直线为z轴，建立直角坐标系，A（d,0O,B（0卫,0）,A］（d，0,2）,D（0,0,D・・・E（-,-,0,G,GE~BD=（0,22333663・・•点E在平面ABD上的射影是AABD的重心G,・•・狂丄平面ABD,・・・G£BD=0,解得a=2o—>112,/•GE=,BA{=2—2,
12、2）、3331•••売丄平而ABD,•••GE为平而ABD的一个法向量。cos=丨GE丨•I碉I43川鱼歸33—-—-^/2=arccos——,13AXB与平面ABD所成的角为71—-arccos—,即arccos—o233评析①因规定直线与平面所成角0e[O,-],两向量所成角aw[0,兀],所以用此法向量求出的线面2JT角应满足6=1—-al。②一•般地，设n是平面M的法向量，AB是平血M的一条斜线，A为斜足，则AB2兀CABn2AB■—13、①直接利用定义，图4(1)。②利用三垂线定理及其逆定理，图4(2)最常用。③作棱的垂面，图4(3)o图4另外，特别注意观察图形木身是否己含冇所求的平面角;2.向量法：①从平面的法向量考虑，设®‘2分别为平面a,卩的法向量，二面角a-l-卩的大小为0,向量nx,n2的夹角为(p,则有0+(p=7T或0=(p(图5)②如果AB、CD分别是二面角a-/-0的两个面内•棱1垂直的异面直线，则二面角的大小为
