经典中考数学压轴题十二讲第十一讲：“数形结合”多思辨

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1、第十一讲：“数形结合”多思辨一一由函数图象运动变换形成的代几综合题代儿综合题，一般来说有两种呈现方式：以儿何元素为背景构造未知量或者以代数知识为背景形成儿何关系.这其屮，点的坐标（数）与线段长（形）的互相转化是结合的切入点.在分析解决代几综合题时，有三点要引起重视.一是函数问题总是借助点的坐标來实现突破；二是当几何图形置于坐标系时，几何直线型中的“线”就会或明或喑地被赋予代数中一次函数的身份；第三，出现两线交点，就借助联立函数解析式转化为方程组计算.例1、如图，Rt^AOB^,ZA=90°,以。为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，04=2,AB=8，点C为AB边的中点，抛

2、物线的顶点是原点0,且经过C点.（1）填空：直线0C的解析式为；抛物线的解析式为；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C）,抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设ABOE的面积为S,求S的取值范围.与坐标系有关的综合题，应该充分地利用点的坐标和线段长的互相转化实现“数形结合”，从而顺利完成代数知识与几何知识的无缝衔接.这道题的大致思路就是由己知的线段长表示点C的坐标，得到0C和起始抛物线的解析式，进而根据顶点M在线段0C上移动写出平移抛

3、物线的解析式，再市抛物线的解析式表示点D和点E的坐标，再把坐标转化成相关线段的长，最后利用几何图形的位置关系和数量关系求解.已知条件“0A=2fAB=8,点C为AB边的中点”翻译成点C(2,4)，所以直线0C的解析式为y=2x,抛物线的解析式为y=第(2)问的线段0C我们要赋予它函数y=2兀的身份，而抛物线的顶点M始终在线段0C上即M的坐标满足y=2x,所以设M(加,2加)，而M始终在线段0C上还意味着0

4、,所以OD=nv+2m，又因为AB//y轴，所以当OD=BC=4时，即可求出使四边形BDOC为平行四边形的点D・解方程莎+2加=4,得=-1+a/5,叫=--逅(舍去)，所以/71=-1+a/5.因为B(2,8),E(2,m2-2m+4),所以BE=8-(m2-2m+4)=-m2+2m+4,从而HBOE的面积为S=-x2x(-/n2+2m+4)=-m2+2/n+4=-(m-l)2+5.由20

5、M交于点D・现将抛物线平移，保持顶点在直线0D上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.(3)如图2,将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0,3)作不平行于兀轴的直线交抛物线于E,F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P,使APEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第（1）

6、uj,注意到已知A,B两点是抛物线与X轴的交点，容易想到利用二次函数的交点式（或双根式）求出解析式，也就有了顶点M的坐标和直线0D的解析式.从而为第（2）问抛物线在直线0D上的平移做好了充足的准备.第（2）问求平移的抛物线与射线CD（含端点C

7、）只有一个公共点，显然从抛物线的右半侧经过点C开始，到左半侧经过点C前，抛物线与射线CD只有一个公共点，继续平移还会有一个时刻，抛物线与射线CD相切，此时也只有一个公共点.所以抛物线与射线CD只有一个公共点要分类讨论，考虑到与射线CQ相交、相切两种情况，相交是C点坐标代入求得加的取值范圉，相切是利用判别式4=0计算求得加的值.如果y轴的负半轴上存在点P,使APEF的内心在y轴上，那么y轴就是ZEPF的角平分线所在的直线.利用对称性，我们作点E关于〉，轴的对称点直线FE'与y轴的交点就是点P.这是把抛物线的轴对称性和角平分线的轴对称性结合起来设计的问题.满分解答：（1）因为抛物线y二祇

8、？+加+3与兀轴交于A（-3,0）,B（-l,0）两点，那么抛物线为y=d（x+3）（x+l）=or，+4ox+3a,因此3g=3,解得a=l,因此抛物线的解析式为y=P+4x+3.(2)由y=x2+4x+3=(x+2)2-l,知抛物线的顶点为M(—2,—l).所以直线0D(即0M)的解析式为y=^x.(1设平移后的抛物线的顶点为ATm-m,那么抛物线的解析式为I2丿/21y=[x-m)+—zn.①当抛物线经过点C(0,9)时，龙+丄加=9.解得m=-