7.24数学建模～插值与拟合(课件ppt)[1]

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1、插值与拟合一、插值的基本原理二、拟合的基本原理三、插值与拟合的关系四、插值的MATLAB实现五、拟合的Matlab实现我们经常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，例如数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。一、概述数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与插值和拟合有关系，例如98年美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，2003年吵的沸沸扬扬的“非典”问题也要用到数据拟合算法，

2、观察数据的走向进行处理，2005年的雨量预报的评价的插值计算。2001年的公交车调度拟合问题，2003年的饮酒驾车拟合问题。拟合问题——饮酒驾车喝两瓶酒的拟合曲线喝1-5瓶酒的拟合曲线在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度。如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。（不需要函数表达式）二、基本概念如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据变化规律的近似函数的

3、方法称为数据拟合。（必须有函数表达式）近似函数不一定（曲线或曲面）通过所有的数据点。1、联系都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法。2、区别插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合要求得到一个具体的近似函数的表达式。三、插值与拟合的区别和联系四、插值的使用及求解当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时,通常利用函数插值方法。实际问题当中碰到的函数f(x)是各种各样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某些点上的函数值和导数值。4.1引言

4、选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值）（2）分段线性插值（3）Hermite（4）三次样条插值。4.2插值方法2021年9月15日1.一般问题的提出一、一般插值方法112021年9月15日２.Lagrange插值公式一、一般插值方法Why?122021年9月15日另外还有著名的Newton插值和Hermite插值等。２.Lagrange插值公式一、一般插值方法lj(x)Newton插值求作n次多项式使得：插值问题讨论Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需重新算

5、过。Newton插值的承袭性Newton插值具有承袭性的插值公式线性插值公式可以写成如下形式：其中，其修正项的系数再修正可以进一步得到拋物插值公式其中以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。差商的概念1．差商的定义定义1：设有函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn（即在ij时，xixj）的值f(xi),称为f(x)在点xi,xi处的一阶差商，并记作f[xi,xj]，差商的概念(续)又称为　　在点　　　　处的二阶差商称为f(x)在点　　　　　处的n阶差商。差商形式的插值公式再考虑拉格朗日插值问题

6、：问题求作次数多项式，使满足条件，利用差商其解亦可表达为如下形式：这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。Newton插值容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。由插值多项式的唯一性，得牛顿插值多项式的误差估计Hermite插值多项式要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。高次插值的龙格现象对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数,设将区间分为等份，表取个等分点作节点的插值多项式，如

7、下图所示，当增大时，在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现象。龙格现象ToMATLABlch(larg1)分段插值的概念所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划并在每个子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数在分划的每个子段上都是次式，则称为具有分划的分段次式。分段线性插值计算量与n无关;n越大，误差越小.xjxj-1xj+1x0xnxＯy分段插值1.分段线性插值；2.分段抛物插值；3.分段低次多项式插值；原因：高

8、次插值会发生Runge现象。逼近效果并不算太好！样条函数与样条插值1.样条函数的概念292021年9月15日