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1、第八章插值与拟合建模重庆邮电大学数理学院沈世云一.插值主要内容2、掌握用数学软件包求解插值问题。1、了解插值的基本内容。[1]一维插值[2]二维插值[3]实验作业拉格朗日插值分段线性插值三次样条插值一维插值一、插值的定义二、插值的方法三、用Matlab解插值问题返回返回二维插值一、二维插值定义二、网格节点插值法三、用Matlab解插值问题最邻近插值分片线性插值双线性插值网格节点数据的插值散点数据的插值一维插值的定义已知n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值节点可视为由产生,，表达式复杂,，或无封闭形式,，或未知.。构造一个(相对简单的)函数通过全部节
2、点,即再用计算插值，即返回2.3拉格朗日插值1、线性插值假设已知在区间上的两个结点和它们的函数值求一个一次多项式，使得多项式在结点上满足条件这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。可以求出：分段线性插值计算量与n无关;n越大，误差越小.xjxj-1xj+1x0xnxoy2、抛物插值已知在区间上的三个结点和它们的函数值求一个次数不超过2的多项式，使得它在结点上满足条件这种插值方法称为抛物线插值法，可求出：3、n次拉格朗日插值假设取区间上的个结点，并且已知函数在这此点的函数值现在求一个次数不超过的多项式，使得满足条件这种插值方法称为次多项式插值（或称
3、代数插值），利用拉格朗日插值插值方法可得上述多项式称为n次拉格朗日（Lagrange）插值多项式，函数称为拉格朗日插值基函数。当n=1,2时，n次拉格朗日（Lagrange）插值多项式即为线性插值多项式和抛物插值多项式。比分段线性插值更光滑。xyxi-1xiab在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。三次样条插值三次样条插值g(x)为被插值函数。例1已知函数发f(x)的函数表如下：求其拉格朗日插值多
4、项式，并求的近似值。解由于给出了4个插值结点，所以可做出次数不超过3的拉格朗日插值多项式。将上列4式代入n=3的拉格朗日插值公式，可得所要求的插值多项式为将x=2.5代入可得f(2.5)的近似值为1.8496。拉格朗日插值法适合节点较少的情况，当节点较多的大范围高次插值的逼近效果往往并不理想且当插值结点增加时，计算越来越繁。为了提高精度和减少计算，还有牛顿插值法下、三次样条插值等，具体可参阅有关书籍。用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值点插值节点xi处的插值结果‘nearest’：最邻近插值‘linear’
5、：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值。缺省时：分段线性插值。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。ToMATLAB(temp)hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');(直接输出数据将是很多的)plot(hours,temp
6、s,'+',h,t,hours,temps,'r:')%作图xlabel('Hour'),ylabel('DegreesCelsius’)例2在用外接电源给电容器充电时，电容器两端的电压V将会随着充电时间t发生变化，已知在某一次实验时，通过测量得到下列观测值，分别用拉格朗日插值法、分段线性插值法、三次样条插值法画出V随着时间t变化的曲线图，分别计算当时间t=7s时，三种插值法各自算得电容器两端电压的近似值。解由于MATLAB没有提供现成的拉格朗日插值命令，我们可以编写一个函数lglrcz.m来完成，其他两种插值法可用现成的命令。用MATLAB软件进行三种插值计算的程序为szc
7、zqx.m。程序lglrcz.m：functiony=lglrcz(x0,y0,x)n=length(x0)；m=length(x)；fori=1:mz=x(i)；s=0.0；fork=1:np=1.0；forj=1:nifj～=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j))；endends=p*y0(k)+s；endy(i)=s；end程序为azczf.mt=[1,2,3,4,6.5,9,12]；v=[6.2,7.3,8.2,9.0,9.6,10.1,10.4]；t0=0.2:0.1:12.
