4.6+相平面法

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1、4.6.1相平面１相平面的定义我们知道，对于ｎ阶系统的状态，可以用一个ｎ维状态向量描述，这个向量的ｎ个状态变量可以构成一个ｎ维空间，称为状态空间，也称为相空间。各状态随时间ｔ变化在状态空间中形成的一条轨迹，称为状态轨迹或相轨迹。对于二阶微分方程描述的系统，相空间是二维的，在某些情况下，是一个平面，称为相平面。这样我们可以在相平面上绘制出状态方程所确定的系统状态变化的轨迹，即相轨迹，相轨迹也表示了系统的动态特性，这种用相轨迹几何图形表示系统动态过程的方法，称为系统动态特性的相平面表示法。例如，二阶微分方程的相轨迹如图4.45所示。当绘制出线性或非线性系统的相轨迹后，就可以根据相轨迹的几何特征

2、，清楚地看出这个系统的稳定性以及存在的自激振荡的稳定性及其参数，也可以确定系统过渡过程的主要特征。这就是相平面法。2相平面法的适用范围相平面法是一种精确的方法，但它受到下列几点限制。1）原则上，它仅适用于一阶、二阶系统。这是因为在平面上绘制函数曲线是比较容易的。在三维空间中绘制三阶系统的相轨迹可能，但很困难，而绘制三维以上空间中的轨迹则是不可能的。因此，只有在相平面上分析一阶、二阶系统。对于线性部分是高阶的系统，如果可以降为二阶，也可以用相平面法分析。2）只适用于定常系统。和描述函数法一样，也不适用于时变系统。3）一般用于研究系统输入为零时的动态过程。当有输入时，输入信号的形式受到初态的限

3、制，只允许像阶跃、速度、加速度等能像常数被状态隐含的输入信号，而不允许象正弦一类的输入.。4.6.2相轨迹的绘制方法绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。解析法是一种最基本的方法。当系统的微分方程比较简单，或者系统中非线性特性可以分段线性化时，可以用解析法绘制相平面图。一般情况下，用解析法是比较困难、甚至不可能的。因此，常用图解法。目前比较常用的图解法有等倾线法和法两种。实验法是利用模拟计算机绘制相轨迹，即用模拟计算机模拟所研究的系统，根据示波器的显示，或记录仪，绘制出系统的相轨迹。随着计算机仿真技术的发展，越来越多地利用数字计算机绘制相轨迹。本节只简单介绍解析法和定性控制法。１.解析

4、法应用解析法求取相轨迹，一般有两种方法，一是求出和对的函数关系，然后从这两个方程中消去，从而得到相轨迹方程。这种方法没有实用价值，因为假如微分方程是可积的，也就不必用相平面表示其解。另一种方法是利用关系式:(4.110)将二阶微分方程变成一阶微分方程:,直接进行积分，便可画出相轨迹.例4.33具有理想继电器特性的非线性系统如图4.46所示，试在平面上绘制相轨迹。解从方框图得到:则方法1：直接积分上式，并注意到是１或－１的常数，可得再积分一次得从上面两式中消去t，得或上式就是相轨迹方程。方法2：由式(4.110)得两边积分得：则：得：则则若系统的初始状态为点，则系统的状态从点开始运动，沿相轨

5、迹①运动到点时，继电器从－Ｍ切换到＋Ｍ,状态则改为沿相轨迹②运动,当运动到点时进行反向切换，如此反复。2定性控制法定性控制法和通常的函数作图方法类似。要绘制的曲线，可以先确定曲线的一些特征，然后勾划出曲线的大致形状。这些特征有：截距、极值点、对称性、凹凸性、斜率正负性、渐近性等。微分方程的相轨迹也有一些易于求出的特征，一旦求出它们，就容易勾划出系统相轨迹概貌。这些特征视系统的不同而异，例如有：１）相对原点、坐标轴的对称性；２）水平等倾线；３）铅垂等倾线；４）不变直线，即直线形的相轨迹；５）奇点类型；６）极限环；７）某区域中的斜率符号。由上述特征绘制出的相轨迹，显然是定性的。但从系统相轨迹图

6、的几何结构（指相轨迹的类型、相对位置、相对形状的分布情况）来说却是准确的。如果再结合几条等倾线或其它精确计算方法，就能绘制出相当满意的相轨迹图。下面举例说明。例4.33绘制的相轨迹。解引入状态变量，，可将二阶微分方程化为一阶微分方程组：相轨迹微分方程为:具有下列特征：１）相轨迹关于原点对称。因为以代替，相轨迹微分方程形式不变。２）水平等倾线，即或者.３）铅垂等倾线，即４）不变直线相轨迹。（若k无实数解，表示没有不变直线。）将代入相轨迹微分方程，得：，解得：，，因此，相轨迹有两条不变直线和。（５）等倾线方程，即，则等倾线方程为:.在相平面上作出特征（2）～（4）。由于解的唯一性，相轨迹不能相

7、交，因此，不变直线起到分界线作用。不变直线的存在说明没有绕原点的封闭相轨迹，即极限环。在第一象限和第三象限，没有说明相轨迹特征，所以，根据特征5）再画出几条等倾线。当a=-3时,x=0,即y轴为等倾线,斜率为,倾角为当a=-5时，等倾线方程为y=x，倾角为.根据上述特征，可以勾画出相轨迹的特征，如图4.48所示。4.6.3奇点１奇点的概念设描述系统的微分方程为:(4.112)若存在点，,使得与同时成立，则，称为该方程的奇