非线性控制系统的相平面分析法

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1、7-5非线性控制系统的相平面分析法相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求系统在阶跃函数作用下，在平面上的相轨迹。建立系统微分方程式，由图示系统可得因为，代入上式得（7-31）对于时，因此上式可写成（7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差

2、信号的初始条件是和。平面上的相轨迹起始于点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。根据平面上的相轨迹就可方便的求得平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量及系统在稳态时的误差为零。因为平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在平面上相轨迹最终到达的稳态值，则奇点坐标为。2、斜坡响应对于斜坡输入；当时，的导数及。因此，方程（7-31）可以写成或令，代入上式，则有（7-33）在平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。应

3、当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在平面上的奇点的位置是坐标原点，而在平面上奇点坐标为点。又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。所以误差信号的初始值，。如果式（7-33）的特征根是处于左半平面的共轭复数根时，则在平面上的相轨迹为如图7-40所示。由上面分析可以看出，图7-38所示系统，对于斜坡输入时的相轨迹，除整个相轨迹图形向右平移之外，其他与阶跃输入时完全相同。另外，当系统在斜坡输入时，相轨迹最终不是到原点而是卷入奇点。这表示系统在斜坡输入时呈现的稳态误差为。二、非线性控制系统的相平面分析当非线性元件静特性可以用分段直线来表示时，这样的非线性系统就可以用几个分段线性系统来描

4、述。这时，整个相平面可以划分成若干个区域，其中每一个区域相应于一个单独的线性工作状态。相应地每一个区域都有一个奇点，不过这个奇点有时可能不一定在本区域之内，而是在其它区域。如果奇点位于本区域之内，则称为实奇点；如果奇点位于本区域之外，那么该区内的相轨迹就永远不可能到达该点，因此，称这样的奇点为虚奇点。具有分段线性特性的二阶系统，一般只有一个实奇点，因此与具有实奇点的区域相邻接的所有区域都将具有虚奇点。每一个奇点的位置和性质，都取决于相应区域的运动方程。每一个区域的相平面图均表示一个相应线性系统的相平面图。有了这些相平面图以后，只要在区域的边界线上，把相应的相轨迹连接起来，就可构成整

5、个系统的完整的相轨迹。下面举例说明具体做法。1、具有非线性增益的控制系统设如图7-41(a)所示的非线性控制系统，图中表示的方块是一个非线性放大器，其静特性如图7-41(b)所示，当误差信号的数值大于或小于时，放大器的增益分别等于1或小于1，即（7-34）可见，系统在大误差信号时，具有大的增益；而在小误差信号时，增益也小。因为图7-40(a)所示系统是分段线性的。所以可以把它看成是两个线性系统的组合，其相应的相轨迹也由两个线性系统的相轨迹组合而成。具体做法如下：假设系统初始状态为静止平衡状态。根据系统结构图，写出变量与之间的微分方程为由于，代入上式得（7-35）设系统在单位阶跃输入

6、作用下，在平面上作相应的相轨迹。对于单位阶跃输入，当时，，所以式（7-35）成为（7-36）上式即为非线性系统在单位阶跃作用下的误差微分方程。将式（7-34）代入式（7-36）得下列两个线性微分方程：（7-36a）(7-36b)在下面的分析中，假设方程（7-36a）为欠阻尼的运动方程，其特征根为具有负实部的共轭复数根，对应的相轨迹如图7-42(a)所示，奇点（0，0）为稳定焦点。假设方程(7-36b）为过阻尼的运动方程，相应的特征根为两个负实根，相轨迹如图7-42(b)所示，奇点(0，0)为稳定节点。根据方程（7-36a）和(7-36b）所确定的相应区域，将图7-42(a)和图7-

7、42(b)组合在一起就可得到图7-41所示非线性系统的相轨迹图，如图7-43所示。图中系统参数为：，，和。由图7-43可知，相平面被分割成三个区域：在直线和限定的区域内对应着方程(7-36b）,而在这个区域以外相轨迹由方程(7-36a)确定。相轨迹起始于点，该点由初始条件，确定。从点出发的相轨迹，首先沿7-42(a)所示相轨迹运动，并“企图”收敛到稳定焦点（虚奇点，坐标原点）。然而，当相点（描述点）运动到点，即到达本区域的边界线线上时，若继续运动将越出边界而进入新的区