非线性系统的分析-相平面.ppt

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1、§3-3相平面法相平面法是基于时域的一种图解分析方法。是状态空间法在二维情况下的应用。二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)一般可用常微分方程来描述。式中，设输入信号为零，表示系统中的某一个物理量，是和的解析函数。控制系统的任一动态过程可由状态变量来表示。一、相平面的基本概念1.相平面:以和为横轴和纵轴构成的坐标平面.2.相点:相平面上任一点3.相轨迹:对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。xx(x,,x)持續振蕩4.相轨迹特点:⑴与初始点(状态)密切相关.⑵可以不直接求出微分方程而获得系统

2、所有运动状态.5.相轨迹判断系统稳定性二、相平面图绘制方法1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.设二阶系统(*)若令则直接积分,便解出相轨迹方程并由此画出相轨迹。整理上式并积分其中上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。例：如无阻尼二阶系统令则，设初始条件为等倾线方程⒉图解法之一：等倾线法它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。若令二阶微分方程令满足相轨迹上的切线斜率为a⑴画图原理：据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可证明不同a不相交，则对确定初始点沿等斜率切线变化规律

3、唯一。这样便可画出相轨迹（近似）⑵画图步骤：ii.作等倾线分布图iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的平均斜率依次作短直线便可画得。i.求出等倾线方程相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。例如令等斜线方程:等斜线分布图.相轨迹A点直线段交=－1.2线于B.11.122.111-=--=-=A,过点三.相轨迹和相平面图的性质1)相轨迹的斜率若相轨迹上任意一点的斜率为，则2)相轨迹的对称性按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相反；关于原

4、点对称的曲线，其对称点处斜率大小相等，符号相同。a则相轨迹关于对称(左右对称)。则相轨迹关于对称(上下对称)。则相轨迹关于原点对称。的点称为奇点。设二阶系统的平衡点在原点，即f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设在原点附近展成台劳级数3)相平面图的奇点奇点：相平面上同时满足高阶无穷小量可以省略，得到则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面上的位置。设特征根为，根据在复平面的位置，可以有以下几种情况：①一对具有负实部的共轭复根每条相轨迹都以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的奇点称为稳定焦点。②一对具有正实部的共轭复根每条相轨迹都以震荡方

5、式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳定焦点。③特征根为两个负实根对应的相轨迹以非震荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。④特征根为两个正实根对应的相轨迹以非震荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不稳定节点。⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这种奇点称为中心点。⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称为鞍点。在非线性系统的相轨迹中，可能会存

6、在特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离开它。极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点，也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。4）极限环如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环，如图(a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能回到极限环上。因此，稳定的极限环上系统就表现为自激振荡。极限环横向与纵向的最大值分别对应自激振荡的

7、振幅与最大变化率。①稳定的极限环如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到极限环上来，因此称为不稳定的极限环。②不稳定的极限环③半稳定的极限环如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。5）由相轨迹求时间增量当相轨迹在x方向移动一个增量时，如果在区间的变化不很剧

8、烈，则可以把该区间内的平均值近似当成x在此区间内匀速变化的速度。这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增量。三．线性系统的相平面分析一