第7章_2相平面法.ppt

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1、17.4相平面图的分析根据相平面图可以求出系统动态过程的时间函数，也可以分析二阶线性系统和非线性系统的动态品质，如超调量、振荡次数等。27.4.2线性系统的相平面分析给定二阶线性系统的微分方程在相平面内相轨迹的斜率方程为31无阻尼情形（）00中心点表示二阶系统极点。42欠阻尼情形（）00稳定节点53过阻尼情形（）0系统过渡过程单调衰减0稳定节点64负阻尼情形00不稳定焦点70正实特征根不稳定节点085给定二阶线性系统的微分方程其特征方程为其特征根为90不稳定的平衡状态0鞍点107.4.3非线性系统的相平面分析1非线性系统的局部特性

2、非线性系统可以有多个奇点，在每个奇点附近的局部区域内，相轨迹与线性系统的情形十分相似。如果上述非线性系统的奇点为原点，则应用Taylor公式可展开为：11在原点附近略去高阶项，得近似线性系统非线性系统的局部特性可以由上一小节分析的线性系统的各种相轨迹来近似。122非线性系统的极限环在相平面中，极限环定义为一条孤立的封闭曲线。极限环的轨迹必须同时具备和这两个封闭性孤立性性质。体现周期运动特性体现极限特性13极限环的分类稳定极限环当时，在极限环邻域内的所有轨迹都收敛于该极限环，这样的极限环称为稳定极限环。它表示系统的运动是一种稳定的带

3、固有周期的自持振荡。在系统设计时，应尽可能减小极限环，以满足稳态精度的要求。14稳定极限环0极限环外部稳定极限环内部不稳定15不稳定极限环当时，在极限环邻域内的所有相轨迹都从该极限环离开，这样的极限环称为不稳定极限环。16不稳定极限环0极限环外部不稳定极限环内部稳定17半稳定极限环当时，在极限环邻域内的某些相轨迹从该极限环离开，这样的极限环称为半稳定极限环。而另一些相轨迹收敛于该极限环，在系统设计时，应尽可能增大稳定区域。180极限环外部不稳定极限环内部不稳定半稳定极限环（情形I）190极限环外部稳定极限环内部稳定半稳定极限环（情

4、形II）20[例7-8]分析下述非线性系统的极限环213非线性系统的相平面分析这一节研究含有典型非线性环节的控制系统对于不同输入信号下的系统运动相轨迹。这类非线性系统可以通过几个分段的线性系统来近似。整个相平面划分为若干个区域，其中每个区域对应一个线性工作状态。22如果一个区域的奇点位于该区域之内，则称为实奇点；如果位于该区域之外，则称为虚奇点。二阶非线性系统只能有一个实奇点，而在该实奇点所在区域之外的其他区域，都只能有虚奇点。每一个奇点的类别和位置取决于系统在该区域的微分方程，还取决于输入信号的形式及大小。23将相邻区域的相轨迹

5、根据在两区域分界线上的点应具有相同工作状态的原则连接起来。这样便获得了整个非线性系统的相轨迹。24分析非线性系统的一般步骤[1]将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应的数学表达式。[2]在相平面内选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横坐标及纵坐标。然后将相平面根据非线性划分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈现线性特性。25[3]确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。在某些情况下，奇点与输入信号的形式及大小有关。[4]在各个区域内分别画出各自的相轨迹。[5]将相邻区域的相轨迹连接起来。在两区域分界线上的点应具有

6、相同工作状态。连接的依据是：26[例7-9]给定下述非线性系统的方块图：0-其饱和特性的数学模型为：271输入信号为时0I区III区II区280I区II区III区290I区II区III区302输入信号为时a），稳态误差为无穷大！0虚奇点PII区III区I区A31b），0奇点P稳态误差为常值I区III区II区A32c），0终止点AI区II区III区33结论含饱和特性的二阶非线性系统，在阶跃信号的作用下，其相轨迹收敛于原点，系统无稳态误差。含饱和特性的二阶非线性系统，在斜坡输入信号作用下，其稳态误差的取值与、、的取值及初始条件均有关，

7、情况比较复杂。34本次课内容总结由相平面图求取系统运动的时域解；线性系统的相平面分析；非线性系统的相平面分析；非线性系统的极限环。