专题8--三角函数及恒等变换

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1、专题&■三角函数及恒等变换2.公式的作用(：)三角函数的定义：建立角的终边上的点坐标与三角函数之间的关系.(2)同角三角函数关系：主要是解决相同角之间的三角函数之间的关系.(3)诱导公式：解决么与kn^a的三角函数值之间的关系.(4)两角和与差的公式：解决角的和与差的三角函数值与原角的三角函数值之间的关系.(5)二倍角公式：解决角的倍数关系及三角函数升降幕变化.3.三角函数化简的原则(1)式子的结构最简单：整式或常数.(2)式子的方次最简单：一次或常数.(3)式子的名称最简单：名称统一或常数.(4)式子的角最简单：角统一或常数.要点

2、热点探究►探究点一三角函数定义的运用三角函数定义的运用在2008年高考题中出现在解答题的第一题，三角函数的定义主要是由角终边上的点坐标得到三角函数值，再进行三角化简和求值.(34、F寸，点B在第二象限，点C(l，0)・⑴设ZCOAF,求sin2〃的值；⑴若N4OB为等边三角形，求点B的坐标.343_4诵=10，角的始边必须与x所得点的坐标才【解答】(1)由题意得，cos^=~,sin^=-,24所以sin2^=2sin^cos^=^.(2)因为△力0〃为等边三角形，所以同理,sinZBOC=4+3迈10故点B的坐标为所以cosZBO

3、C=cos(ZAOC+60°)【点评】三角函数的定义中关键在于a轴正半轴重合，且角的终边与单位圆相交为(cosa,sina)・如图8-2,在平面直角坐标系xOj，中，以Ox轴为始边作两个锐角弘伤它们的终边分别交单位圆于B两点.已知儿〃两点的横坐标分别是需，半⑴求tan(a+/T)的值;(2)求a+ip的值.图8—2【解答】（1）由己知条件即三角函数的定义可知cosa=]0,.7[2因为a为锐角，故sina>0,从而sina=1—cos2a="^jj",同理可得sin“=寸1_co2〃=誓,因此tana=7,tan"#.所以hm(

4、a+“)=tan(z+tan01—tanatan//l-7x

5、(2)tan(a+2/?)=tan

6、(a4-/?)+/?

7、=又0

8、201b江苏卷］在厶ABC中，角/,B,C的对边分别为“，b,c.⑴若2cos/i,求/的值;⑵若cos/1=pb=3c,求或口^?的值.【解答】(1)由题设知sin/lco命+co皿in?

9、=2cos4从而siivl=A/5cos/l,所以cos/HO,tnnA=y[3f因为0VMVtt,所以（2）由cosz4=j,b=3c及/=卩+F—2bccos4,得a2=b2—c2.故是直角三角形，且B=号,所以sinC=cosz4=j.【点评】第一小问中所给三角方程，需要将不同角化成同一角后，即可解出三角方程；第二小问中首先要结合余弦定理判断三角形形状，再根据所得直角三角形用诱导公式求出siiiQ的值.a探究点三向量背景下的三角化简和求值例3已知向量“=（4,5co$（z）,b=（3,—4tana）.⑴若a//b,试求sina

10、的值；的值.(2)若a丄b,JSLae(0>D,求cos(2a-予)【解答】(1)因为a//hf所以警=二^竺所以15cos2a+16sina=0,即15sin2a—16sina—15=0.解得sina=一*或sina=

11、(舍去).所以sina=—(2)因为a丄方，所以a・b=Q,即12—20cosa*tana=0,所以12—20sina=0,即011么=丰・因为么丘（0，号），所以cosa=

12、.247所以sin2a=2sinacosa=^,cos2a=—2sin2a=—所以co§（2a—¥）=co$2（z・co冷+sin2处in

13、手=*X八2—50・【点评】第一小问中根据向量平行坐标公式得到三角等式，再将所得等式的三角函数名称统一，解三角方程；第二小问中由向量垂直得到sina值，再用倍角公式以及和差角公式求出三角函数值.设平面向量a=(cosx,sinx),〃=(cosx+2J5,sinx),c=(sina,cosa),xER.(1)若“丄c,求cos(Xv+2a)的值；(2)若xW(0,号)，证明：“和力不可能平行.【解答】(1)若“丄c,则wc=0,即cosxsina+sinxcosa=0,sin(x+a)=0,所以cos(2x+2a)=l—2sin用a

14、+“，a~p表示2ct；求sinla,cos2a的值•【解答】⑴2a=(a-〃)+(a+“).(2)因为号V0GV普，所以0G-0弓，^