三角函数的恒等变换及图像

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1、三角函数的恒等变换及图像基本内容：1•角的概念的推广，弧度制，任意角三角函数值；2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式；3.三角函数的恒等变换（两角和差公式，倍角公式，半角公式）;4.三角函数的图像和性质.（平移伸缩变换）5.斜三角形解法（正眩定理.余眩定理）.知识点梳理：I、同角三角函数的关系与诱导公式Isina=escasinatanacosa倒数关系:i筍数关系:11coso=tana=secacotacosacota=sina平方关系:•221sinq+cos~a-ll+tan26Z=sec2al+cot2or=esc2a2、两角和与差、二倍角公式（一）

2、主要公式：I•两角和与差的三角函数sin(a-0)=sinacos0-cosasin卩sin（a+0）=sinacos0+cosasin0cos(a+Q=cos<7cos0-sinasin0cos(a-0)=cosacos0+sinasin02.二倍角公式：sinla=2sinacosa2222cos2a=cosp-sin6Z=l-2sina=2cosa-宀2tanatan2a=l-tarra2l+cos2acosa+0)=J,』cos(a—(p})“々％八a.21-cos2q降次公式：sirra=2辅助角公式：asinQ+bcosd=sin（CX（二）重要结

3、论：l.sina土cosa=y/2sin(G±—).42.tana±tan/3=tan(cr±0)(1+tanatan0)=士")COSQCOS0,sinacosa03•tanQ+cotQ=1=2cosasinasin2a5.4.(sinQ±cosQ)2=l±sin2Q・^^=tan(^±a).1+tan6T43、三角函数的图象（重点）yly=cosx1（一）.描点法：五点作图法（正、余弦曲线）（二）.利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和平移变换等，重点掌握函数y=Asin（3x+（p）+b（A>0,3>0）的作法.（1）振幅变换

4、：由丫=小你的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原來的A倍，得到y=Asinx的图象.I—

5、（2）周期变换：由『=彳小的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐变为原来的％I倍，得到y=sin0）或向右（当（p<0）平行移动丨0）或向下（当b<0）平行移动丨bI个单位，得到y=sinx+b的图象.注意：rfly=sinx的图象利用图彖变换作函数y=Asin（cox+（p）+b（A>0,s>

6、0）（xeR）的图象，要特別注意：当周期变换和平移变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。4、三角函数的化简、求值与证明（一）、三角函数式的化简：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；（二）、三角函数的求值类型有三类：(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”,如a=a+0—0,2o=(Q+0)+(a—0)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时

7、要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范圉及函数的单调性求得角。(三)、三角等式的证明：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察，发现己知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。(四)、三角函数的最值1、求三角函数最值的常用方法有：(1)配方法；如y=cos2x-cos兀+1或=-sin2x+2sinx-3(2)化为一个角的三角函数形式，如y=++k等，利用

8、三角函数的有界性解;2、三角函数的最值都是在给左区间上取得的，因而特别要注意题设屮所给出的角的范围,还要注意弦函数的有界性.典型例题导讲1：1.研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y二Asin(u)x+e)+B或y-Acos(cox+4))+B的形式。［注意］:函数y二

9、Asin(cox+e)

10、的周期是函数y二Asin(cox+4))周期的一半。TT7T［例1］函数y=sin(—x+0)cos(—x+0)在x=2时有最大值,则0的一个值是,A、714B、71~2D、1JT解析：原函数可变为：尹=—sin(加+2&),它在x=2时有最大值，即2龙+2&=

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