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《2018版高中数学人教b版选修2-2学案：2.2.2反证法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2.2反证法【明目标、知重点】1•了解反证法是间接证明的一种基本方法2理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.填要点•记疑点1.反证法的定义一般地，由证明p・q朝向证明：縹…/与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定縫2为假，推出么为真的方法，叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论孑盾,或与公认的简单事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下结论词至少有一个至多有一个至少有n
2、个至多有Z个反设词一个也没有（不存在）至少有两个至多有5—1）个至少有S+1）个结论词只有一个对所有X成立对任意兀不成立反设词没有或至少有两个存在某个X不成立存在某个X成立结论词都是一定是p或q反设词不都是不一泄是縹p或綁q探要点•究所然［情境导学］王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，
3、所以李子一定是苦的・”这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法.探究点一反证法的概念思考1结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？答（1）假设原命题不成立（提出原命题的否定，即“李子苦”），（2）以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论（“早被路人摘光了”），（3）判定该结论与事实（“树上结满李子”）矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？答（1）与
4、假设矛盾；（2）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾.思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1已知直线a,b和平面a,如果aQa,bug且a//b,求证：a//a.证明因为a//b,所以经过直线q,b确定一个平面0.因为aQa,而aUp,所以u与”是两个不同的
5、平面.因为bJ,且bU0,所以anp=b.下面用反证法证明直线a与平面a没有公共点.弋乙假设直线a与平面a有公共点P,如图所示，/•……这/则PFC0=b,即点P是直线a与b的公共点，Z-/这与a//b矛盾.所以a//a.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法.跟踪训练1如图，己知a//b.oQ平面a=A.求证：直线b与平面a必相交.证明假设b与平面a不相交，
6、即bUa或〃〃a.①若bUa,因为b//a,aGa,所以a//a,这与aCa=A相矛盾;②如图所示，如果b//at则Q,〃确定平面几显然a与0相交，设aC}p=c,因为b//af所以b〃c.又a//h,从而a//c,且qGg,cUa,则alia、这与aCa=A相矛盾.由①②知，假设不成立，故直线〃与平面。必相交.探究点三用反证法证明否定性命题例2求证：迈不是有理数.证明假设迈是有理数.于是，存在互质的正整数〃?，弘使得迈=牛，从而有加=迈”，因此〃/=2/,所以加为偶数.于是可设m=2k(k是正整数)
7、，从而有4&=2‘,即『=2&,所以〃也为偶数.这与加，〃互质矛盾.由上述矛盾可知假设错误，从而迈不是有理数.反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、'‘不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法.跟踪训练2已知三个正数a,b,C成等比数列，但不成等差数列，求证：花，训，讥不成等差数列.证明假设诵，羽，匹成等差数列，贝IJy[a+y[c=2y[f^即a+c+2y[ac=4hf而b2=ac,即b=yfacf•a+c+2y[ac=4y[ac9(y[a~y[c)2=0.即
8、&=y[c,从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾，故込，y[b,&不成等差数列.探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3若函数./(X)在区间[a,方]上是增函数，那么方程./(x)=0在区间[a,切上至多有一个实根.证明假设方程/(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根，设侬”为其中的两个实根.因为a邦,不妨设X0,又因为函数.心)在[a,切上是增函数，所以.他z)v/(0).这与假设@)=0=/(〃)矛盾，所以
