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时间:2018-12-21
《高中数学 2.2.2反证法学案 新人教a版选修2-2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2反证法课前预习学案一、预习目标:使学生了解反证法的基本原理;掌握运用反证法的一般步骤;学会用反证法证明一些典型问题.二、预习内容:提出问题:问题1:桌面上有3枚正面朝上的硬币,每次用双手同时翻转2枚硬币,那么无论怎么翻转,都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗?学生尝试用直接证明的方法解释。采用反证法证明:假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上,由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数,即偶数次.这
2、个矛盾说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上.问题2:A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么?分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.推进新课 在解决某些数学问题时,我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填
3、在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标(1)使学生了解反证法的基本原理;(2)掌握运用反证法的一般步骤;(3)学会用反证法证明一些典型问题.二、学习过程:例1、已知直线和平面,如果,且,求证。解析:让学生理解反证法的严密性和合理性;证明:因为,所以经过直线a,b确定一个平面。因为,而,所以与是两个不同的平面.因为,且,所以.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a与平面有公共点,则,即点是直线a与b的公共点,这与矛盾.所以.点评:用反证法的基本步骤:第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;第二步作出与所证不等式相反的假定;第三步从条件和假定
4、出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果;第四步断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等利变式训练1.求证:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.例2、求证:不是有理数解析:直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设不是无理数,那么它就是有理数.我们知道,任一有理数都可以写成形如(互质,”的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.证明:假设不是无理数,那么它就是有理数.于是,存在互质的正整数,使得,从而有,因此,,所以m为偶数.于是可设(k是正整数),从而有,即所以n也为偶数.这与m,n互质矛盾!由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.
5、点评:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。变式训练2、已知,求证:(且)例3、设二次函数,求证:中至少有一个不小于.解析:直接证明中至少有一个不小于.比较困难,我们应采用反证法证明:假设都小于,则(1)另一方面,由绝对值不等式的性质,有(2)(1)、(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。点评:结论为“至少”、“至多”等时,我们应考虑用反证法解决。变式训练3、设06、不可能同时大于反思总结:1.反证法的基本步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确2.归缪矛盾:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾。3.应用反证法的情形:(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论;(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题;(4结论为“唯一”类命题;当堂检测:1.证明不可能成等差数列.2.设,求证证明:假设,则有,从而因为,所以,这与题设条件矛盾,所以,原不等式成立。课后练习与提高一、选择7、题1.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程有有理根,那么中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( )A.假设都是偶数B.假设都不是偶数C.假设至多有一个是偶数D.假设至多有两个是偶数2.(1)已知,求证,用反证法证明时,可假设,(2)已知,,求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1,即假设,以下结论正确的是( )A.与的假设都错误B.与的假设都正确C.的假设正确;的假设错误D.的假设错误;的假设正确3.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( )A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两8、个内角是钝角D.没有一个
6、不可能同时大于反思总结:1.反证法的基本步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确2.归缪矛盾:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾。3.应用反证法的情形:(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论;(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题;(4结论为“唯一”类命题;当堂检测:1.证明不可能成等差数列.2.设,求证证明:假设,则有,从而因为,所以,这与题设条件矛盾,所以,原不等式成立。课后练习与提高一、选择
7、题1.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程有有理根,那么中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( )A.假设都是偶数B.假设都不是偶数C.假设至多有一个是偶数D.假设至多有两个是偶数2.(1)已知,求证,用反证法证明时,可假设,(2)已知,,求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1,即假设,以下结论正确的是( )A.与的假设都错误B.与的假设都正确C.的假设正确;的假设错误D.的假设错误;的假设正确3.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( )A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两
8、个内角是钝角D.没有一个
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